题目
根据牛顿定律：物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成正比。假设空气的温度是20℃，沸腾的水在20分钟内冷却到60℃，那么水温降到30℃需要多少分钟？
根据牛顿定律：物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成正比。假设空气的温度是20℃，沸腾的水在20分钟内冷却到60℃，那么水温降到30℃需要多少分钟？
题目解答
答案
解：20min=$\frac{1}{3}$h,$\frac{dT}{dt}$=-k（T-T0），T（0）=100，T（$\frac{1}{3}$）=60，T0=20，微分方程的解为：T=Ce-kt+20，解得t=1h=60min。
答：水温降到30℃需要60分钟。
答：水温降到30℃需要60分钟。
解析
步骤 1：建立微分方程
根据牛顿冷却定律，物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成正比，可以建立微分方程：$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$，其中$T$是物体的温度，$T_0$是空气的温度，$k$是比例常数。
步骤 2：求解微分方程
微分方程的解为：$T = Ce^{-kt} + T_0$，其中$C$是积分常数。根据题目条件，空气的温度$T_0 = 20$℃，沸腾的水初始温度$T(0) = 100$℃，20分钟内冷却到$T(\frac{1}{3}) = 60$℃。代入初始条件求解$C$和$k$。
步骤 3：求解$C$和$k$
代入$T(0) = 100$℃，得到$100 = Ce^{-k \cdot 0} + 20$，解得$C = 80$。再代入$T(\frac{1}{3}) = 60$℃，得到$60 = 80e^{-k \cdot \frac{1}{3}} + 20$，解得$k = 3\ln(2)$。
步骤 4：求解水温降到30℃需要的时间
代入$T = 30$℃，得到$30 = 80e^{-3\ln(2) \cdot t} + 20$，解得$t = 1$小时$= 60$分钟。
根据牛顿冷却定律，物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成正比，可以建立微分方程：$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$，其中$T$是物体的温度，$T_0$是空气的温度，$k$是比例常数。
步骤 2：求解微分方程
微分方程的解为：$T = Ce^{-kt} + T_0$，其中$C$是积分常数。根据题目条件，空气的温度$T_0 = 20$℃，沸腾的水初始温度$T(0) = 100$℃，20分钟内冷却到$T(\frac{1}{3}) = 60$℃。代入初始条件求解$C$和$k$。
步骤 3：求解$C$和$k$
代入$T(0) = 100$℃，得到$100 = Ce^{-k \cdot 0} + 20$，解得$C = 80$。再代入$T(\frac{1}{3}) = 60$℃，得到$60 = 80e^{-k \cdot \frac{1}{3}} + 20$，解得$k = 3\ln(2)$。
步骤 4：求解水温降到30℃需要的时间
代入$T = 30$℃，得到$30 = 80e^{-3\ln(2) \cdot t} + 20$，解得$t = 1$小时$= 60$分钟。