波长 lambda = 600 , (nm) 的单色光垂直入射到缝宽 a = 0.2 , (mm) 的单缝上，缝后用焦距 50 , (cm) 的会聚透镜将衍射光会聚于屏幕上。求：(1) 中央明条纹的角宽度、线宽度；(2) 第 1 级明条纹的位置。及单缝处波面可分为几个半波带？

本题主要考查单缝衍射的相关知识，解题的关键在于理解单缝衍射的明暗条纹条件以及角宽度、线宽度的计算方法。

（1）求中央明条纹的角宽度、线宽度

• 中央明条纹角宽度：
  • 对于单缝衍射，中央明条纹的边缘是由第一级暗纹决定的。第一级暗纹满足条件$a\sin\theta_1 = \lambda$（其中$a$为缝宽，$\theta_1$为第一级暗纹对应的衍射角，$\lambda$为波长）。
  • 由于$\sin\theta_1$在小角度情况下可近似为$\theta_1$（因为$\theta_1$很小，$\sin\theta_1\approx\theta_1$），所以$\theta_1=\frac{\lambda}{a}$。
  • 中央明条纹的角宽度$\Delta\theta$是第一级暗纹衍射角的两倍，即$\Delta\theta = 2\theta_1$。
  • 已知$\lambda = 600\times10^{-9}\, \text{m}$，$a = 0.2\times10^{-3}\, \text{m}$，将其代入可得：
    $\Delta\theta = 2\times\frac{\lambda}{a}=2\times\frac{600\times10^{-9}}{0.2\times10^{-3}} = 6\times10^{-3}\, \text{rad}$
• 中央明条纹线宽度：
  • 线宽度$\Delta y$与角宽度$\Delta\theta$的关系为$\Delta y = f\Delta\theta$（其中$f$为会聚透镜的焦距）。
  • 已知$f = 0.5\, \text{m}$，$\Delta\theta = 6\times10^{-3}\, \text{rad}$，代入可得：
    $\Delta y = f\Delta\theta = 0.5\times6\times10^{-3}=3\times10^{-3}\, \text{m}=3\, \text{mm}$

（2）求第1级明条纹的位置及单缝处波面可分为几个半波带

• 第1级明条纹的位置：
  • 单缝衍射第$k$级明纹的条件为$a\sin\theta_k=(2k + 1)\frac{\lambda}{2}$（$k = 1,2,3,\cdots$）。
  • 对于第1级明纹，$k = 1$，则$a\sin\theta_1=(2\times1 + 1)\frac{\lambda}{2}=\frac{3\lambda}{2}$。
  • 同样在小角度情况下$\sin\theta_1\approx\theta_1$，所以$\theta_1=\frac{3\lambda}{2a}$。
  • 已知$\lambda = 600\times10^{-9}\, \text{m}$，$a = 0.2\times10^{-3}\, \text{m}$，代入可得：
    $\theta_1=\frac{3\times600\times10^{-9}}{2\times0.2\times10^{-3}} = 4.5\times10^{-3}\, \text{rad}$
  • 第1级明条纹的位置$y$与衍射角$\theta_1$的关系为$y = f\theta_1$。
  • 已知$f = 0.5\, \text{m}$，$\theta_1 = 4.5\times10^{-3}\, \text{rad}$，代入可得：
    $y = f\theta_1 = 0.5\times4.5\times10^{-3}=2.25\times10^{-3}\, \text{m}=2.25\, \text{mm}$
• 单缝处波面可分为的半波带数：
  • 由单缝衍射第$k$级明纹的条件$a\sin\theta_k=(2k + 1)\frac{\lambda}{2}$可知，半波带数$N = 2k + 1$。
  • 对于第1级明纹，$k = 1$，所以半波带数$N = 2\times1 + 1 = 3$。