题目
2.52 杆1为钢杆, _(1)=210G(P)_(a), _(11)=12.5times (10)^-60(c^-1) _(1)=3000(m)^2 杆2为铜杆,-|||-_(2)=105GPa, _(12)=19times (10)^-60(c)^-1 _(2)=3000(m)^2 载荷 =50kN 若AB为刚性杆,且始终保-|||-持水平,试问温度应该是升高还是降低?并求温度的改变量 Delta T-|||-1 2-|||-A B-|||-a a-|||-F-|||-题2.52图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定杆件的变形条件
由于AB杆为刚性杆，且始终水平，因此杆1和杆2的伸长量必须相等，即 $\Delta L_1 = \Delta L_2$。杆件的伸长量由载荷和温度变化共同引起，因此需要考虑载荷和温度变化对杆件伸长量的影响。
步骤 2：计算载荷引起的伸长量
载荷引起的伸长量由胡克定律给出，即 $\Delta L = \frac{FL}{AE}$，其中F为载荷，L为杆件长度，A为杆件截面积，E为弹性模量。对于杆1和杆2，载荷引起的伸长量分别为 $\Delta L_{1F} = \frac{F_1L_1}{A_1E_1}$ 和 $\Delta L_{2F} = \frac{F_2L_2}{A_2E_2}$。由于AB杆为刚性杆，且始终水平，因此杆1和杆2的载荷相等，即 $F_1 = F_2 = F$，且杆1和杆2的长度相等，即 $L_1 = L_2 = L$。因此，载荷引起的伸长量相等，即 $\Delta L_{1F} = \Delta L_{2F}$。
步骤 3：计算温度变化引起的伸长量
温度变化引起的伸长量由线膨胀系数给出，即 $\Delta L = \alpha L \Delta T$，其中$\alpha$为线膨胀系数，L为杆件长度，$\Delta T$为温度变化量。对于杆1和杆2，温度变化引起的伸长量分别为 $\Delta L_{1T} = \alpha_1 L \Delta T$ 和 $\Delta L_{2T} = \alpha_2 L \Delta T$。由于杆1和杆2的长度相等，因此温度变化引起的伸长量之差为 $\Delta L_{1T} - \Delta L_{2T} = (\alpha_1 - \alpha_2) L \Delta T$。
步骤 4：求解温度变化量
由于杆1和杆2的伸长量相等，因此载荷引起的伸长量和温度变化引起的伸长量之和相等，即 $\Delta L_{1F} + \Delta L_{1T} = \Delta L_{2F} + \Delta L_{2T}$。将步骤2和步骤3的结果代入，得到 $\frac{FL}{A_1E_1} + \alpha_1 L \Delta T = \frac{FL}{A_2E_2} + \alpha_2 L \Delta T$。由于杆1和杆2的截面积相等，即 $A_1 = A_2 = A$，因此可以简化为 $\frac{F}{E_1} + \alpha_1 \Delta T = \frac{F}{E_2} + \alpha_2 \Delta T$。将已知数据代入，得到 $\frac{50 \times 10^3}{210 \times 10^9} + 12.5 \times 10^{-6} \Delta T = \frac{50 \times 10^3}{105 \times 10^9} + 19 \times 10^{-6} \Delta T$。解得 $\Delta T = -26.5^{\circ}C$。因此，温度应该降低。
由于AB杆为刚性杆，且始终水平，因此杆1和杆2的伸长量必须相等，即 $\Delta L_1 = \Delta L_2$。杆件的伸长量由载荷和温度变化共同引起，因此需要考虑载荷和温度变化对杆件伸长量的影响。
步骤 2：计算载荷引起的伸长量
载荷引起的伸长量由胡克定律给出，即 $\Delta L = \frac{FL}{AE}$，其中F为载荷，L为杆件长度，A为杆件截面积，E为弹性模量。对于杆1和杆2，载荷引起的伸长量分别为 $\Delta L_{1F} = \frac{F_1L_1}{A_1E_1}$ 和 $\Delta L_{2F} = \frac{F_2L_2}{A_2E_2}$。由于AB杆为刚性杆，且始终水平，因此杆1和杆2的载荷相等，即 $F_1 = F_2 = F$，且杆1和杆2的长度相等，即 $L_1 = L_2 = L$。因此，载荷引起的伸长量相等，即 $\Delta L_{1F} = \Delta L_{2F}$。
步骤 3：计算温度变化引起的伸长量
温度变化引起的伸长量由线膨胀系数给出，即 $\Delta L = \alpha L \Delta T$，其中$\alpha$为线膨胀系数，L为杆件长度，$\Delta T$为温度变化量。对于杆1和杆2，温度变化引起的伸长量分别为 $\Delta L_{1T} = \alpha_1 L \Delta T$ 和 $\Delta L_{2T} = \alpha_2 L \Delta T$。由于杆1和杆2的长度相等，因此温度变化引起的伸长量之差为 $\Delta L_{1T} - \Delta L_{2T} = (\alpha_1 - \alpha_2) L \Delta T$。
步骤 4：求解温度变化量
由于杆1和杆2的伸长量相等，因此载荷引起的伸长量和温度变化引起的伸长量之和相等，即 $\Delta L_{1F} + \Delta L_{1T} = \Delta L_{2F} + \Delta L_{2T}$。将步骤2和步骤3的结果代入，得到 $\frac{FL}{A_1E_1} + \alpha_1 L \Delta T = \frac{FL}{A_2E_2} + \alpha_2 L \Delta T$。由于杆1和杆2的截面积相等，即 $A_1 = A_2 = A$，因此可以简化为 $\frac{F}{E_1} + \alpha_1 \Delta T = \frac{F}{E_2} + \alpha_2 \Delta T$。将已知数据代入，得到 $\frac{50 \times 10^3}{210 \times 10^9} + 12.5 \times 10^{-6} \Delta T = \frac{50 \times 10^3}{105 \times 10^9} + 19 \times 10^{-6} \Delta T$。解得 $\Delta T = -26.5^{\circ}C$。因此，温度应该降低。