题目
如图所示,转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动,它们的质量分别为 _(A)=10kg 和mB-|||-=20kg, 半径分别为rA和rE.现用力f和f分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动.为使-|||-A、B轮边缘处的切向加速度相同,相应的拉力fA、fB之比应为多少?(其中A、B轮绕O轴转动时的转-|||-动惯量分别为 _(A)=dfrac (1)(2)(m)_(A)({r)_(A)}^2 和 _(B)=dfrac (1)(2)(m)_(B)({r)_(B)}^2) B rB-|||-A-|||-f1/8 lfA
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用转动定律
根据转动定律，力矩等于转动惯量乘以角加速度。对于轮A和轮B，分别有：
\[ f_A r_A = I_A \alpha_A \]
\[ f_B r_B = I_B \alpha_B \]
其中，\( I_A = \frac{1}{2} m_A r_A^2 \) 和 \( I_B = \frac{1}{2} m_B r_B^2 \)。
步骤 2：切向加速度相同
要使A、B轮边缘处的切向加速度相同，即 \( a_A = a_B \)。切向加速度与角加速度的关系为 \( a = r \alpha \)，因此有：
\[ r_A \alpha_A = r_B \alpha_B \]
\[ \alpha_A = \frac{r_B}{r_A} \alpha_B \]
步骤 3：计算拉力比
将转动惯量和角加速度的关系代入转动定律中，得到：
\[ f_A r_A = \frac{1}{2} m_A r_A^2 \alpha_A \]
\[ f_B r_B = \frac{1}{2} m_B r_B^2 \alpha_B \]
将 \( \alpha_A = \frac{r_B}{r_A} \alpha_B \) 代入，得到：
\[ f_A r_A = \frac{1}{2} m_A r_A^2 \frac{r_B}{r_A} \alpha_B \]
\[ f_B r_B = \frac{1}{2} m_B r_B^2 \alpha_B \]
化简得到：
\[ f_A = \frac{1}{2} m_A r_B \alpha_B \]
\[ f_B = \frac{1}{2} m_B r_B \alpha_B \]
因此，拉力比为：
\[ \frac{f_A}{f_B} = \frac{\frac{1}{2} m_A r_B \alpha_B}{\frac{1}{2} m_B r_B \alpha_B} = \frac{m_A}{m_B} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \]
根据转动定律，力矩等于转动惯量乘以角加速度。对于轮A和轮B，分别有：
\[ f_A r_A = I_A \alpha_A \]
\[ f_B r_B = I_B \alpha_B \]
其中，\( I_A = \frac{1}{2} m_A r_A^2 \) 和 \( I_B = \frac{1}{2} m_B r_B^2 \)。
步骤 2：切向加速度相同
要使A、B轮边缘处的切向加速度相同，即 \( a_A = a_B \)。切向加速度与角加速度的关系为 \( a = r \alpha \)，因此有：
\[ r_A \alpha_A = r_B \alpha_B \]
\[ \alpha_A = \frac{r_B}{r_A} \alpha_B \]
步骤 3：计算拉力比
将转动惯量和角加速度的关系代入转动定律中，得到：
\[ f_A r_A = \frac{1}{2} m_A r_A^2 \alpha_A \]
\[ f_B r_B = \frac{1}{2} m_B r_B^2 \alpha_B \]
将 \( \alpha_A = \frac{r_B}{r_A} \alpha_B \) 代入，得到：
\[ f_A r_A = \frac{1}{2} m_A r_A^2 \frac{r_B}{r_A} \alpha_B \]
\[ f_B r_B = \frac{1}{2} m_B r_B^2 \alpha_B \]
化简得到：
\[ f_A = \frac{1}{2} m_A r_B \alpha_B \]
\[ f_B = \frac{1}{2} m_B r_B \alpha_B \]
因此，拉力比为：
\[ \frac{f_A}{f_B} = \frac{\frac{1}{2} m_A r_B \alpha_B}{\frac{1}{2} m_B r_B \alpha_B} = \frac{m_A}{m_B} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \]