题目
( 3分) 将一质量为m的小球,系于轻绳的一端,绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住.先使小球以角速度在桌面上做半径为r1的圆周运动,然后缓慢将绳下拉,使半径缩小为r2,在此过程中小球的动能增量是_____________.
( 3分) 将一质量为m的小球,系于轻绳的一端,绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住.先使小球以角速度在桌面上做半径为r1的圆周运动,然后缓慢将绳下拉,使半径缩小为r2,在此过程中小球的动能增量是_____________.
题目解答
答案
( 3分) 
解析
步骤 1：确定初始状态的动能
小球在半径为r1的圆周运动时，其线速度v1 = r1 * w1，其中w1是角速度。因此，小球的初始动能为E1 = 1/2 * m * v1^2 = 1/2 * m * (r1 * w1)^2 = 1/2 * m * r1^2 * w1^2。
步骤 2：确定最终状态的动能
当半径缩小为r2时，由于角动量守恒，小球的角速度会增加。设新的角速度为w2，根据角动量守恒定律，m * r1^2 * w1 = m * r2^2 * w2，解得w2 = (r1^2 / r2^2) * w1。因此，小球的最终动能为E2 = 1/2 * m * v2^2 = 1/2 * m * (r2 * w2)^2 = 1/2 * m * r2^2 * w2^2 = 1/2 * m * r2^2 * (r1^2 / r2^2)^2 * w1^2 = 1/2 * m * r1^4 / r2^2 * w1^2。
步骤 3：计算动能增量
动能增量ΔE = E2 - E1 = 1/2 * m * r1^4 / r2^2 * w1^2 - 1/2 * m * r1^2 * w1^2 = 1/2 * m * r1^2 * w1^2 * (r1^2 / r2^2 - 1)。
小球在半径为r1的圆周运动时，其线速度v1 = r1 * w1，其中w1是角速度。因此，小球的初始动能为E1 = 1/2 * m * v1^2 = 1/2 * m * (r1 * w1)^2 = 1/2 * m * r1^2 * w1^2。
步骤 2：确定最终状态的动能
当半径缩小为r2时，由于角动量守恒，小球的角速度会增加。设新的角速度为w2，根据角动量守恒定律，m * r1^2 * w1 = m * r2^2 * w2，解得w2 = (r1^2 / r2^2) * w1。因此，小球的最终动能为E2 = 1/2 * m * v2^2 = 1/2 * m * (r2 * w2)^2 = 1/2 * m * r2^2 * w2^2 = 1/2 * m * r2^2 * (r1^2 / r2^2)^2 * w1^2 = 1/2 * m * r1^4 / r2^2 * w1^2。
步骤 3：计算动能增量
动能增量ΔE = E2 - E1 = 1/2 * m * r1^4 / r2^2 * w1^2 - 1/2 * m * r1^2 * w1^2 = 1/2 * m * r1^2 * w1^2 * (r1^2 / r2^2 - 1)。