题目

设汽车行驶时所受阻力F与汽车的横截面S成正比且和速率v之平方成正比。若采用国际单位制，试写出F、S和(v)^2 的关系式；比例系数的单位如何?其物理意义是什么?

设汽车行驶时所受阻力F与汽车的横截面S成正比且和速率v之平方成正比。若采用国际单位制，试写出F、S和${v}^{2} $的关系式；比例系数的单位如何?其物理意义是什么?

题目解答

答案

由题可知，F、S和${v}^{2} $的关系式为：F=kS${v}^{2} $；

因为F的单位为kg$\cdot $m/${s}^{2} $，S的单位为${m}^{2} $，${v}^{2} $的单位为${{m}^{2} }\over{{s}^{2} } $，故k的单位为${kg}\over{{m}^{3} } $；

即k=${m}\over{V} $=$\rho $，其物理意义为物体的密度。

解析

本题考查比例关系的数学表达、单位换算以及物理量的物理意义。解题思路如下：

  1. 确定$F$、$S$和$v^{2}$的关系式：
    • 已知汽车行驶时所受阻力$F$与汽车的横截面$S$成正比且和速率$v$之平方成正比。
    • 根据正比例关系的数学表达，若两个量$A$、$B$成正比，则可表示为$A = kB$（$k$为比例系数）。
    • 对于本题，$F$与$S$和$v^{2}$都成正比，所以$F$、$S$和$v^{2}$的关系式为$F = kSv^{2}$，其中$k$为比例系数。
  2. 计算比例系数$k$的单位：
    • 在国际单位制中，力$F$的单位是牛顿（$N$），根据牛顿第二定律$F=ma$，质量$m$的单位是千克（$kg$），加速度$a$的单位是米每二次方秒（$m/s^{2}$），所以$1N = 1kg\cdot m/s^{2}$，即$F$的单位为$kg\cdot m/s^{2}$。
    • 面积$S$的单位是平方米（$m^{2}$），速度$v$的单位是米每秒（$m/s$），那么$v^{2}$的单位为$(m/s)^{2}=m^{2}/s^{2}$。
    • 由$F = kSv^{2}$可得$k=\frac{F}{Sv^{2}}$，将各物理量的单位代入可得$k$的单位为$\frac{kg\cdot m/s^{2}}{m^{2}\cdot m^{2}/s^{2}}$。
    • 对$\frac{kg\cdot m/s^{2}}{m^{2}\cdot m^{2}/s^{2}}$进行化简：
      • 根据分式运算法则$\frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$，则$\frac{kg\cdot m/s^{2}}{m^{2}\cdot m^{2}/s^{2}}=\frac{kg\cdot m}{s^{2}}\cdot\frac{s^{2}}{m^{2}\cdot m^{2}}$。
      • 约去$s^{2}$，得到$\frac{kg\cdot m}{m^{4}}$。
      • 再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，$\frac{m}{m^{4}} = m^{1 - 4}=m^{-3}$，所以$k$的单位为$\frac{kg}{m^{3}}$。
  3. 分析比例系数$k$的物理意义：
    • 我们知道密度$\rho$的定义式为$\rho=\frac{m}{V}$，其中$m$是物体的质量，$V$是物体的体积。
    • 而$k$的单位$\frac{kg}{m^{3}}$与密度的单位相同，所以$k$的物理意义为物体的密度。