5.18 如题5.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两段直导线的长度和半圆环-|||-的半径都等于R.求环中心O点处的电场强度和电势.-|||-R-|||-R R-|||-0°-|||-题5.18图

步骤 1：计算直导线在O点处的电场强度
直导线在O点处的电场强度可以通过积分计算。由于直导线的长度为R，线密度为λ，因此直导线在O点处的电场强度为：
$$
E_{直导线} = \int_{0}^{R} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \frac{R}{(R^2 + x^2)^{3/2}} dx
$$
步骤 2：计算半圆环在O点处的电场强度
半圆环在O点处的电场强度可以通过积分计算。由于半圆环的半径为R，线密度为λ，因此半圆环在O点处的电场强度为：
$$
E_{半圆环} = \int_{0}^{\pi} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \frac{R}{R^2} d\theta = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R}
$$
步骤 3：计算O点处的总电场强度
由于直导线和半圆环在O点处的电场强度方向相反，因此O点处的总电场强度为：
$$
E_{总} = E_{直导线} - E_{半圆环} = \frac{-\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R}
$$
步骤 4：计算直导线在O点处的电势
直导线在O点处的电势可以通过积分计算。由于直导线的长度为R，线密度为λ，因此直导线在O点处的电势为：
$$
U_{直导线} = \int_{0}^{R} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{\sqrt{R^2 + x^2}} dx
$$
步骤 5：计算半圆环在O点处的电势
半圆环在O点处的电势可以通过积分计算。由于半圆环的半径为R，线密度为λ，因此半圆环在O点处的电势为：
$$
U_{半圆环} = \int_{0}^{\pi} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{R} d\theta = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R}
$$
步骤 6：计算O点处的总电势
由于直导线和半圆环在O点处的电势方向相同，因此O点处的总电势为：
$$
U_{总} = U_{直导线} + U_{半圆环} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln 2 + \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R}
$$