一质点作简谐振动，频率为 2 , (Hz)，如果开始时质点处于平衡位置，并以 pi , (m) cdot (s)^-1 的速率向 x 轴的负方向运动，那么该质点的振动方程为( )A. x = 0.25 cos (4pi t + (pi)/(2)) , (m)B. x = 0.25 cos pi t , (m)C. x = 0.25 cos (2pi t + pi) , (m)D. x = 0.25 cos (4pi t - (pi)/(2)) , (m)

本题考查简谐振动方程的知识，解题思路是先根据频率求出角频率，再结合初始条件确定振幅和初相位，最后得出振动方程。

1. 求角频率$\omega$：
   已知简谐振动的频率$f = 2 \, \text{Hz}$，根据角频率与频率的关系$\omega = 2\pi f$，可得：
   $\omega = 2\pi\times 2 = 4\pi \, \text{rad/s}$
2. 设简谐振动方程：
   简谐振动方程的一般形式为$x = A\cos(\omega t + \varphi)$，其中$A$为振幅，$\omega$为角频率，$\varphi$为初相位。
   将$\omega = 4\pi \, \text{rad/s}$代入，得到$x = A\cos(4\pi t + \varphi)$。
3. 求振幅$A$和初相位$\varphi$：
   • 对振动方程求导可得速度方程$v = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$。
   • 已知开始时$t = 0$，质点处于平衡位置，即$x(0) = 0$，代入振动方程可得：
     $x(0) = A\cos(\varphi) = 0$
     则$\cos\varphi = 0$，解得$\varphi = \pm\frac{\pi}{2}$。
   • 又已知开始时质点以$\pi \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$的速率向$x$轴的负方向运动，即$v(0) = -\pi \, \text{m/s}$，代入速度方程可得：
     $v(0) = -A\omega\sin(\varphi) = -\pi$
     将$\omega = 4\pi \, \text{rad/s}$代入上式，得到$-A\times 4\pi\sin(\varphi) = -\pi$，即$4A\sin(\varphi) = 1$。
   • 当$\varphi = \frac{\pi}{2}$时，$\sin\varphi = 1$，代入$4A\sin(\varphi) = 1$可得$4A\times 1 = 1$，解得$A = 0.25 \, \text{m}$。
   • 当$\varphi = -\frac{\pi}{2}$时，$\sin\varphi = -1$，代入$4A\sin(\varphi) = 1$可得$4A\times (-1) = 1$，解得$A = -0.25 \, \text{m}$，振幅不能为负，舍去。
4. 得出振动方程：
   将$A = 0.25 \, \text{m}$，$\omega = 4\pi \, \text{rad/s}$，$\varphi = \frac{\pi}{2}$代入简谐振动方程$x = A\cos(\omega t + \varphi)$，可得：
   $x = 0.25\cos(4\pi t + \frac{\pi}{2}) \, \text{m}$