20世纪60年代发现的类星体的特点之一是它发出极强烈的辐射。这一辐射的能源机制不可能用热核反应来说明。一种可能的巨大能源机制是黑洞或中子星吞食或吸积远处物质时所释放的引力能。(1) 1 kg物质从远处落到地球表面上时释放的引力能是多少?释能效率(即所释放能量与落到地球表面的物质的静能的比)又是多大?(2) 1 kg物质从远处落到一颗中子星表面时释放的引力能是多少? (设中子星的质量等于一个太阳的质量而半径为10km)释能效率又是多大?和习题6.17所求热核反应的释能效率相比又如何?

本题考查万有引力定律以及能量效率的计算。解题思路是先根据万有引力定律计算物体下落释放的引力能，再通过引力能与物体静能的比值计算释能效率。

(1) 计算 1 kg 物质从远处落到地球表面上时释放的引力能

根据万有引力定律，物体在地球表面的引力势能为 $E = -\frac{GMm}{R}$，其中 $G$ 为万有引力常量，$M$ 为地球质量质量，$m$ 为物体质量，$R$ 为地球半径。
当物体从远处落到地球表面时释放的引力能为 $\Delta E = = 0 - (-\frac{GMm}{R})=\frac{GMm}{R}$。
已知 $G = 6.67\times 10^{-11} N\cdot m^2/kg^2$，$M = 5.98\times 10^{24} kg$，$m = 1 kg$，$R = 6.37\times 10^{6} m$。
将数值代入公式可得：
$\Delta E=\frac{6.67\times 10^{-11\times 5.98\times 10^{24}\times 1}{6.37\times 10^{6}} \approx 6.3\times 10^{9} J$。

计算释能效率

物体的静能为 $E_0 = mc^2$，其中 $c$ 为光速，$c = 3\times 10^{8} m/s$。
释能效率为 $\eta=\frac{\Delta E}{mc^2}$，将 $\Delta E = 6.3\times 10^{9} J$，$m = 1 kg$，$c = 3\times 10^{8} m/s$ 代入可得：
$\eta=\frac{6.3\times 10^{9}}{1\times(3\times 10^{8})^{2}} = 7\times 10^{-3}\%$。

(2) 计算 1 kg kg 物质从远处落到一颗中子星表面时释放的引力能

同样根据万有引力定律，物体在中子星表面的引力势能为 $E = -\frac{GMm}{R}$，当物体从远处落到中子星表面时释放的引力能为 $\Delta E = 0 - (-\frac{GMm}{R})=\frac{GMm}{R}$。
已知 $G = 6.67\times 10^{-11} N\cdot m^2/kg^2$，$M = 1.99\times 10^{30} kg$，$m = 1 kg$，$R = 10\times 10^{4} m$。
将数值代入公式可得：
$\Delta E=\frac{6.67\times 10^{-11}\times 1.99\times 10^{30}\times 1}{10\times 10^{4}}approx 1.3\times 10^{16} J$。

计算释能效率

释能效率为 $\eta=\frac{\Delta E}{mc^2}$，将 $\Delta E = 1.3\times 10^{16} J$，$m = 1 kg$，$c = 3\times 10^{8} m/s$ 代入可得：
$\eta=\frac{1.3\times 10^{16}}{1\times(3\times 10^{8})^{2}}\times 100\% = 14\%$。

与太阳热核反应的释能效率比较

已知太阳热核反应的释能效率为 $0.69\%$，则此释能效率是太阳热核反应释能效率的 $\frac{14\%}{0.69\%}{}approx 20$ 倍。