题目
7-44 一半径为R的金属球,原来不带电,将它放在点电荷 +9 的电场中,球心与点电荷-|||-间距离为 (rgt R). 求金属球上感应电荷在球心处的电场强度和金属球的电势.若将金属球接-|||-地,求其上的电荷量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算金属球上感应电荷在球心处的电场强度
金属球在点电荷 $+q$ 的电场中，由于静电感应，金属球表面将出现感应电荷。根据镜像法，可以将金属球上的感应电荷等效为一个位于球心与点电荷连线延长线上，距离球心为 $R^2/r$ 的点电荷 $-qR/r$。因此，金属球上感应电荷在球心处的电场强度为：
$$E_{induced} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{qR/r}{(R^2/r)^2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$$
步骤 2：计算金属球的电势
金属球的电势等于点电荷 $+q$ 在球心处产生的电势与金属球上感应电荷在球心处产生的电势之和。点电荷 $+q$ 在球心处产生的电势为：
$$V_{point} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$$
金属球上感应电荷在球心处产生的电势为：
$$V_{induced} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-qR/r}{R^2/r} = -\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$$
因此，金属球的电势为：
$$V_{metal} = V_{point} + V_{induced} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} - \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} = 0$$
步骤 3：计算金属球接地后的电荷量
当金属球接地后，金属球上的感应电荷将通过接地线流走，因此金属球上的电荷量为：
$$Q_{metal} = -qR/r$$
金属球在点电荷 $+q$ 的电场中，由于静电感应，金属球表面将出现感应电荷。根据镜像法，可以将金属球上的感应电荷等效为一个位于球心与点电荷连线延长线上，距离球心为 $R^2/r$ 的点电荷 $-qR/r$。因此，金属球上感应电荷在球心处的电场强度为：
$$E_{induced} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{qR/r}{(R^2/r)^2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$$
步骤 2：计算金属球的电势
金属球的电势等于点电荷 $+q$ 在球心处产生的电势与金属球上感应电荷在球心处产生的电势之和。点电荷 $+q$ 在球心处产生的电势为：
$$V_{point} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$$
金属球上感应电荷在球心处产生的电势为：
$$V_{induced} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-qR/r}{R^2/r} = -\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$$
因此，金属球的电势为：
$$V_{metal} = V_{point} + V_{induced} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} - \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} = 0$$
步骤 3：计算金属球接地后的电荷量
当金属球接地后，金属球上的感应电荷将通过接地线流走，因此金属球上的电荷量为：
$$Q_{metal} = -qR/r$$