题目

1、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。现随机地挑选一人（1）求此人恰好是色盲者的概率？（2）发现此人是色盲，问此人是男性的概率？

题目解答

答案

设 $ A $ 为“随机挑选的人是男性”，$ B $ 为“随机挑选的人是色盲”。已知： - $ P(A) = 0.5 $，$ P(\overline{A}) = 0.5 $ - $ P(B|A) = 0.05 $，$ P(B|\overline{A}) = 0.0025 $ (1) **此人恰好是色盲的概率** 由全概率公式： \[ P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.5 \times 0.05 + 0.5 \times 0.0025 = 0.02625 \] 或表示为分数： \[ P(B) = \frac{21}{800} \] (2) **发现是色盲，此人是男性的概率** 由贝叶斯公式： \[ P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.5 \times 0.05}{0.02625} = \frac{20}{21} \] 或近似值： \[ P(A|B) \approx 0.9524 \] **答案：** (1) $ \boxed{0.02625} $ 或 $ \boxed{\frac{21}{800}} $ (2) $ \boxed{\frac{20}{21}} $ 或 $ \boxed{0.9524} $

解析

本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用。解题的关键在于明确各个事件的含义，合理运用相应公式进行计算。

求此人恰好是色盲者的的概率
- 设 $A$ 为“随机挑选的人是男性”，$B$ 原子为“随机挑选的人是色盲”。
- 已知男性女性各占一半，所以 $P(A)=0.5$，那么女性的概率 $P(\overline{A}) = 1 - P(A)=0.5$。
- 又已知 $5\%$ 的男性是色盲，即 $P(B|A)=0.05$；$0.25\%$ 的女性是色盲，即 $P(B|\overline{A}) = 0.0025$。
- 根据全概率公式为 $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})$。
  - 将已知概率值代入全概率公式可得：
    $\begin{align*}P(B)&=0.5\times0.05 + + 0.5\times0.0025\\&=0.025+0.00125\\&= 0.02625\end{align*}$
- 将 $0.02625$ ) 化为分数：$0.02625=\frac{2625}{100000}=\frac{21}{800}$。
求发现此人是色盲，此人是男性的概率
- 贝叶斯公式为 $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$。
- 由前面计算可知 $P(A) = 0.5$，$P(B|A)=0.05$，$P(B)=0.02625$。
- 将这些值代入贝叶斯公式可得：
  $\begin{align*}P(A|B)&=\frac{0.5\times0.05}{0.02625}\\&=\frac{0.025}{0.02625}\\&=\frac{2500}{2625}\\&=\frac{20}{21}\approx0.9524\end{align*}$