求位于两圆 rho = 2 sin theta 与 rho = 4 sin theta 之间的均匀薄片（面密度为常量 mu）对 x 轴的转动惯量。 A. (75)/(2) pi muB. (75)/(4) pi muC. (75)/(4) piD. (75)/(2) pi

为了求位于两圆 $ \rho = 2 \sin \theta $ 与 $ \rho = 4 \sin \theta $ 之间的均匀薄片对 $ x $-轴的转动惯量，我们首先需要理解转动惯量的定义。对于一个面密度为 $ \mu $ 的薄片，对 $ x $-轴的转动惯量 $ I_x $ 可以表示为： \[ I_x = \mu \iint_D y^2 \, dA \] 其中 $ D $ 是薄片所占的区域， $ dA $ 是面积元素。在极坐标系中， $ x = \rho \cos \theta $ 和 $ y = \rho \sin \theta $，面积元素 $ dA = \rho \, d\rho \, d\theta $。因此，转动惯量 $ I_x $ 变为： \[ I_x = \mu \iint_D (\rho \sin \theta)^2 \rho \, d\rho \, d\theta = \mu \iint_D \rho^3 \sin^2 \theta \, d\rho \, d\theta \] 接下来，我们需要确定积分区域 $ D $。两圆 $ \rho = 2 \sin \theta $ 和 $ \rho = 4 \sin \theta $ 都关于 $ y $-轴对称，且它们在 $ \theta = 0 $ 和 $ \theta = \pi $ 处相交。因此，积分区域 $ D $ 可以表示为： \[ D = \{ (\rho, \theta) \mid 0 \leq \theta \leq \pi, 2 \sin \theta \leq \rho \leq 4 \sin \theta \} \] 现在，我们可以将二重积分写成累次积分： \[ I_x = \mu \int_0^\pi \int_{2 \sin \theta}^{4 \sin \theta} \rho^3 \sin^2 \theta \, d\rho \, d\theta \] 首先，对 $ \rho $ 进行积分： \[ \int_{2 \sin \theta}^{4 \sin \theta} \rho^3 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^4}{4} \right]_{2 \sin \theta}^{4 \sin \theta} = \frac{(4 \sin \theta)^4}{4} - \frac{(2 \sin \theta)^4}{4} = \frac{256 \sin^4 \theta}{4} - \frac{16 \sin^4 \theta}{4} = 60 \sin^4 \theta \] 所以，转动惯量 $ I_x $ 变为： \[ I_x = \mu \int_0^\pi 60 \sin^4 \theta \sin^2 \theta \, d\theta = 60 \mu \int_0^\pi \sin^6 \theta \, d\theta \] 为了计算 $ \int_0^\pi \sin^6 \theta \, d\theta $，我们使用递减公式。递减公式为： \[ \int \sin^n \theta \, d\theta = -\frac{\sin^{n-1} \theta \cos \theta}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} \theta \, d\theta \] 应用这个公式，我们得到： \[ \int_0^\pi \sin^6 \theta \, d\theta = \frac{5}{6} \int_0^\pi \sin^4 \theta \, d\theta = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \int_0^\pi \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \int_0^\pi \, d\theta = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{5 \pi}{16} \] 因此，转动惯量 $ I_x $ 为： \[ I_x = 60 \mu \cdot \frac{5 \pi}{16} = \frac{300 \pi \mu}{16} = \frac{75 \pi \mu}{4} \] 所以，正确答案是： \[ \boxed{B} \]