已知单缝宽a=1.0×10-4m,f=0.5m,用λ=4000 Å的单色平行光垂直照射单缝,求:(1)中央明条纹的线宽度和第二级明条纹离屏中心的距离;(2)若用每厘米刻有100条刻痕的光栅代替单缝,发现第五级缺级,问光栅的透光缝宽多大?该缺级处离屏中心多远?

考查要点：本题综合考查单缝衍射和光栅衍射的基本规律，涉及明暗条纹位置的计算及光栅缺级条件的应用。

解题思路：

1. 单缝衍射：中央明纹宽度由一级暗纹位置确定，利用衍射角公式计算；明条纹位置由明纹条件推导。
2. 光栅缺级：缺级条件需结合光栅常数与缝宽的关系，通过缺级级数反推缝宽，再利用几何关系求位置。

破题关键：

• 单缝衍射中，一级暗纹对应中央明纹边界，利用小角近似简化计算。
• 光栅缺级时，缺级级数与光栅参数的关系式是核心突破口。

第（1）题

中央明条纹线宽度

1. 一级暗纹条件：单缝衍射中，第一级暗纹满足 $a \sin \phi_1 = \lambda$。
2. 小角近似：$\sin \phi_1 \approx \tan \phi_1$，故第一级暗纹位置 $x_1 = f \tan \phi_1 = f \frac{\lambda}{a}$。
3. 中央明纹宽度：宽度为两侧暗纹间距，即 $x = 2x_1 = \frac{2f\lambda}{a}$。

第二级明条纹位置

1. 明纹条件：第$k$级明纹满足 $a \sin \phi_k = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$。
2. 位置计算：$\tan \phi_k \approx \sin \phi_k$，故 $x_k = f \tan \phi_k = f \frac{(2k+1)\lambda}{2a}$，代入$k=2$。

第（2）题

光栅缺级条件

1. 光栅常数：光栅刻痕密度为$100$条/cm，故$d = \frac{1}{100} \text{cm} = 0.1 \text{mm}$。
2. 缺级关系：缺级发生时 $\frac{d}{a} = \frac{k}{k'}$，其中$k=5$（缺级级数），$k'=1$（最小非零级数），解得$a = \frac{d}{5}$。

缺级位置计算

1. 衍射角计算：缺级对应第$5$级，由光栅方程 $d \sin \phi_5 = 5\lambda$，得 $\sin \phi_5 = \frac{5\lambda}{d}$。
2. 几何位置：$x_5 = f \tan \phi_5 \approx f \sin \phi_5$（小角近似）。