题目

七、(每问6分，共18分)设总体X的概率密度为f(x,lambda)=}(2)/(lambda)xe^-(x^(2)/(lambda)),x>00,xleq0为来自总体X的简单随机样本.解决下列问题:(1)求参数λ的矩估计量hat(lambda)_(ME);(2)求参数λ的最大似然估计量hat(lambda)_(MLE);(3)证明最大似然估计量hat(lambda)_(MLE)是λ的无偏估计量.附表:chi_(0.05)^2(6)=12.592,chi_(0.95)^2(6)=1.635,t_(0.05)(6)=1.9432,F_(0.05)(6,4)=6.16,F_(0.95)(6,4)=0.22

七、(每问6分，共18分) 设总体X的概率密度为$f(x,\lambda)=\begin{cases}\frac{2}{\lambda}xe^{-\frac{x^{2}}{\lambda}},x>0\\0,x\leq0\end{cases}$，其中λ为未知参数且大于零，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自总体X的简单随机样本.解决下列问题: (1)求参数λ的矩估计量$\hat{\lambda}_{ME}$;(2)求参数λ的最大似然估计量$\hat{\lambda}_{MLE}$;(3)证明最大似然估计量$\hat{\lambda}_{MLE}$是λ的无偏估计量. 附表:$\chi_{0.05}^{2}(6)=12.592$,$\chi_{0.95}^{2}(6)=1.635$,$t_{0.05}(6)=1.9432$, $F_{0.05}(6,4)=6.16$,$F_{0.95}(6,4)=0.22$

题目解答

答案

  1. 矩估计量
    计算期望 $E(X) = \frac{\sqrt{\lambda \pi}}{2}$，令其等于样本均值 $\overline{X}$，解得
    $\hat{\lambda}_{ME} = \frac{4 \overline{X}^2}{\pi}.$

  2. 最大似然估计量
    构造似然函数并取对数，求导得
    $\hat{\lambda}_{MLE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2.$

  3. 无偏性证明
    计算 $E(\hat{\lambda}_{MLE}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2\right) = E(X^2) = \lambda$，故
    $\hat{\lambda}_{MLE} \text{ 是 } \lambda \text{ 的无偏估计量.}$

答案：

  1. $\boxed{\frac{4 \overline{X}^2}{\pi}}$
  2. $\boxed{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}$
  3. 由于 $E(\hat{\lambda}_{MLE}) = \lambda$，最大似然估计量无偏。

解析

  1. 矩估计量：通过计算总体的一阶矩（期望）并与样本均值联立求解。关键在于正确计算期望$E(X)$，并建立方程。
  2. 最大似然估计量：构造似然函数，取对数后对$\lambda$求导，解方程得到估计量。核心步骤是正确处理对数似然函数的导数。
  3. 无偏性证明：计算$\hat{\lambda}_{MLE}$的期望，需验证$E(\hat{\lambda}_{MLE}) = \lambda$。关键在于计算$E(X^2)$并利用样本均值的线性性质。

第（1）题：求参数$\lambda$的矩估计量$\hat{\lambda}_{ME}$

计算总体期望$E(X)$

$E(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{2}{\lambda} x e^{-\frac{x^2}{\lambda}} dx = \frac{\sqrt{\lambda \pi}}{2}$

建立矩方程

令总体期望等于样本均值$\overline{X}$：
$\frac{\sqrt{\lambda \pi}}{2} = \overline{X}$

解方程得矩估计量

$\hat{\lambda}_{ME} = \frac{4 \overline{X}^2}{\pi}$

第（2）题：求参数$\lambda$的最大似然估计量$\hat{\lambda}_{MLE}$

构造似然函数

$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{2 X_i}{\lambda} e^{-\frac{X_i^2}{\lambda}}$

取对数并对$\lambda$求导

$\ln L(\lambda) = n \ln 2 + \sum_{i=1}^{n} \ln X_i - n \ln \lambda - \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$
$\frac{\partial \ln L}{\partial \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 = 0$

解方程得最大似然估计量

$\hat{\lambda}_{MLE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$

第（3）题：证明$\hat{\lambda}_{MLE}$是$\lambda$的无偏估计量

计算$E(X^2)$

$E(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot \frac{2}{\lambda} x e^{-\frac{x^2}{\lambda}} dx = \lambda$

计算$\hat{\lambda}_{MLE}$的期望

$E(\hat{\lambda}_{MLE}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2) = \lambda$