题目
填空题-|||-二次积分 (int )_(0)^1dy(int )_(y)^1(dfrac ({e)^(x^2)}(x)-(e)^(y^2))dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目中的积分区域，我们有 $D=\{ (x,y)|0\leqslant y\leqslant 1,y\leqslant x\leqslant 1\} $，这表示积分区域是一个在第一象限的三角形，其边界由 $y=0$，$x=1$ 和 $y=x$ 组成。
步骤 2：交换积分次序
原积分 ${\int }_{0}^{1}dy{\int }_{y}^{1}(\dfrac {{e}^{{x}^{2}}}{x}-{e}^{{y}^{2}})dx$ 可以通过交换积分次序来简化计算。交换后，积分区域变为 $D=\{ (x,y)|0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant x\}$，因此原积分变为 ${\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{x}(\dfrac {{e}^{{x}^{2}}}{x}-{e}^{{y}^{2}})dy$。
步骤 3：计算积分
计算交换后的积分，我们有：
${\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{x}(\dfrac {{e}^{{x}^{2}}}{x}-{e}^{{y}^{2}})dy$
$={\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{x}\dfrac {{e}^{{x}^{2}}}{x}dy-{\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{x}{e}^{{y}^{2}}dy$
$={\int }_{0}^{1}{e}^{{x}^{2}}dx-{\int }_{0}^{1}{e}^{{x}^{2}}dx+{\int }_{0}^{1}x{e}^{{x}^{2}}dx$
$={\int }_{0}^{1}x{e}^{{x}^{2}}dx$
$=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}{e}^{{x}^{2}}d({x}^{2})$
$=\dfrac {1}{2}{e}^{{x}^{2}}{|}_{0}^{1}$
$=\dfrac {1}{2}(e-1)$
根据题目中的积分区域，我们有 $D=\{ (x,y)|0\leqslant y\leqslant 1,y\leqslant x\leqslant 1\} $，这表示积分区域是一个在第一象限的三角形，其边界由 $y=0$，$x=1$ 和 $y=x$ 组成。
步骤 2：交换积分次序
原积分 ${\int }_{0}^{1}dy{\int }_{y}^{1}(\dfrac {{e}^{{x}^{2}}}{x}-{e}^{{y}^{2}})dx$ 可以通过交换积分次序来简化计算。交换后，积分区域变为 $D=\{ (x,y)|0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant x\}$，因此原积分变为 ${\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{x}(\dfrac {{e}^{{x}^{2}}}{x}-{e}^{{y}^{2}})dy$。
步骤 3：计算积分
计算交换后的积分，我们有：
${\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{x}(\dfrac {{e}^{{x}^{2}}}{x}-{e}^{{y}^{2}})dy$
$={\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{x}\dfrac {{e}^{{x}^{2}}}{x}dy-{\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{x}{e}^{{y}^{2}}dy$
$={\int }_{0}^{1}{e}^{{x}^{2}}dx-{\int }_{0}^{1}{e}^{{x}^{2}}dx+{\int }_{0}^{1}x{e}^{{x}^{2}}dx$
$={\int }_{0}^{1}x{e}^{{x}^{2}}dx$
$=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{1}{e}^{{x}^{2}}d({x}^{2})$
$=\dfrac {1}{2}{e}^{{x}^{2}}{|}_{0}^{1}$
$=\dfrac {1}{2}(e-1)$