已知一个透镜把物体放大—3x 投影在屏幕上,当透镜向物体移近18mm 时,物体将被放大—4x 试求透镜的焦距,并用图解法校核之。

步骤 1：定义符号和已知条件
设透镜的焦距为 $f$，物体到透镜的距离为 $l_1$，像到透镜的距离为 $l_2$。根据题意，当透镜把物体放大—3x 投影在屏幕上时，有：
$$
\beta_1 = -3 = \frac{l_2}{l_1}
$$
当透镜向物体移近18mm时，物体将被放大—4x，此时物体到透镜的距离为 $l_1 - 18$，像到透镜的距离为 $l_2$，有：
$$
\beta_2 = -4 = \frac{l_2}{l_1 - 18}
$$
步骤 2：列出方程
根据透镜成像公式，有：
$$
\frac{1}{l_1} + \frac{1}{l_2} = \frac{1}{f}
$$
步骤 3：求解焦距
将 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 的表达式代入透镜成像公式，得到：
$$
\frac{1}{l_1} + \frac{1}{-3l_1} = \frac{1}{f}
$$
$$
\frac{1}{l_1 - 18} + \frac{1}{-4(l_1 - 18)} = \frac{1}{f}
$$
解上述方程组，得到：
$$
l_1 = 270mm
$$
$$
f = 216mm
$$