判断下列元素的全体是否组成集合。并说明理由：(1) A、B 是平面 α 内的定点。在平面 α 内与 A、B 等距离的点(2) 高中学生中的游泳能手。

我们来逐题分析这两个问题，判断所描述的“全体元素”是否构成一个**集合**，并说明理由。 --- ### **什么是集合？** 在数学中，**集合**是指具有某种特定性质的对象的总体，这些对象称为**元素**。要构成一个集合，必须满足以下两个基本特征： 1. **确定性**：对于任何一个对象，都能明确判断它是否属于这个集合（即“是”或“否”有明确答案）。 2. **无歧义性**：集合的定义必须清晰、明确，不能模糊或主观。 如果一个描述的对象不满足“确定性”，即无法明确判断某个元素是否属于该整体，那么它就不能构成一个集合。 --- ### **(1) A、B 是平面 α 内的定点。在平面 α 内与 A、B 等距离的点** #### **分析过程：** - 已知：A 和 B 是平面 α 内的两个**定点**。 - 考察的对象是：在平面 α 内，**到 A 和 B 距离相等的点**的全体。 我们从几何角度分析： - 平面内到两个定点 A 和 B 距离相等的点的集合，是线段 AB 的**垂直平分线**。 - 垂直平分线是一条直线，它上面的每一个点都满足 |PA| = |PB|。 - 这条直线完全位于平面 α 内（因为 A、B 在 α 内，且垂直平分线也在同一平面内）。 #### **是否构成集合？** - 每一个点是否属于这个集合，有**明确的数学标准**：只需判断它到 A 和 B 的距离是否相等。 - 对于平面内的任意一点，可以通过计算或几何方法判断它是否在这条垂直平分线上。 - 因此，这个“全体”具有**确定性**，元素清晰明确。 ✅ **结论：能构成集合。** #### **理由：** 因为到两个定点 A、B 距离相等的点在平面 α 内的轨迹是线段 AB 的垂直平分线，这是一个确定的几何图形，所有满足条件的点构成一个明确、无歧义的点的集合。 --- ### **(2) 高中学生中的游泳能手** #### **分析过程：** - 考察对象：所有高中学生中，被称为“游泳能手”的人。 - 问题在于：“游泳能手”这个标准是**模糊的、主观的**。 #### **是否构成集合？** - “游泳能手”没有统一的定义。例如： - 是指能游 100 米自由泳在 1 分钟内？ - 还是指参加过校队？ - 还是只是自己觉得游得不错？ - 不同的人对“能手”的理解不同，因此对于某个高中学生，无法**明确判断**他是否属于这个“全体”。 - 这违反了集合的**确定性**原则。 ❌ **结论：不能构成集合。** #### **理由：** “游泳能手”是一个主观、模糊的概念，缺乏明确的判断标准，无法确定某个高中学生是否属于这一类，因此不满足集合的确定性要求，不能构成集合。 --- ### **最终答案：** **(1)** 能构成集合。 **理由**：在平面 α 内，与两个定点 A、B 等距离的点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线，这是一个确定的几何图形，所有点满足明确的数学条件，因此构成集合。 **(2)** 不能构成集合。 **理由**：“游泳能手”是一个主观、模糊的概念，没有统一的衡量标准，无法确定一个高中学生是否属于这一类，不满足集合元素的确定性要求。 --- ✅ **答案总结：** (1) $\boxed{能构成集合}$ (2) $\boxed{不能构成集合}$