题目
如图甲所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内且x轴沿水平方向，其第二象限内有一对平行金属板A、B，两板相距为d，两板之间有方向平行于板面并垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1。第一象限某一矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2。第四象限存在一未知电场。第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B3，在竖直方向存在交变电场，将一个倾角为θ的光滑绝缘斜面放置在此空间中。已知大量带电量均为-q的带电粒子从平行金属板左侧沿x轴正方向以相同的速度v0飞入平行金属板A、B之间。稳定后，某一质量为m的带电粒子能沿平行金属板中心线射出，经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限未知电场做匀减速直线运动，恰好沿斜面进入第三象限，此时粒子速度为0，且此后一直在第三象限内运动。取带电粒子刚进入斜面时为t=0时刻，电场变化如图乙所示，电场方向竖直向上为正，场强大小为E0。已知B3的大小数值上等于(2πm)/(q)，且题中d、B1、B2、q、m、v0、E0为已知量，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用，则（1）求稳定后两金属板之间的电势差UAB；（2）求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径r2；（3）求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角θ的函数关系式；（4）若带电粒子在第19s内恰好没有离开斜面，19s后电场变为垂直斜面向上的匀强电场，电场大小变为(3)/(4)E0cosθ，并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏CE。已知带电粒子在电场变化后打在荧光屏上的位置与C点的距离为(q(E)_(0)cosθ)/(32(π)^2m)，求19s末带电粒子与斜面底端C点的距离L（计算结果用角度关系表示）。ty E-|||-A B2-|||-__-|||-····· B1-|||------ --------- Eo-|||-·····-|||-B-|||-x x x x x 0 x ol 1 2 3 4 5 t/s-|||-x x x-|||-E × × x x x-|||-xkx x+ D-|||-B3 c 乙-|||-xxxxx-|||-甲
如图甲所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内且x轴沿水平方向，其第二象限内有一对平行金属板A、B，两板相距为d，两板之间有方向平行于板面并垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1。第一象限某一矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2。第四象限存在一未知电场。第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B3，在竖直方向存在交变电场，将一个倾角为θ的光滑绝缘斜面放置在此空间中。已知大量带电量均为-q的带电粒子从平行金属板左侧沿x轴正方向以相同的速度v0飞入平行金属板A、B之间。稳定后，某一质量为m的带电粒子能沿平行金属板中心线射出，经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限未知电场做匀减速直线运动，恰好沿斜面进入第三象限，此时粒子速度为0，且此后一直在第三象限内运动。取带电粒子刚进入斜面时为t=0时刻，电场变化如图乙所示，电场方向竖直向上为正，场强大小为E0。已知B3的大小数值上等于$\frac{2πm}{q}$，且题中d、B1、B2、q、m、v0、E0为已知量，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用，则
（1）求稳定后两金属板之间的电势差UAB；
（2）求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径r2；
（3）求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角θ的函数关系式；
（4）若带电粒子在第19s内恰好没有离开斜面，19s后电场变为垂直斜面向上的匀强电场，电场大小变为$\frac{3}{4}$E0cosθ，并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏CE。已知带电粒子在电场变化后打在荧光屏上的位置与C点的距离为$\frac{q{E}_{0}cosθ}{32{π}^{2}m}$，求19s末带电粒子与斜面底端C点的距离L（计算结果用角度关系表示）。
（1）求稳定后两金属板之间的电势差UAB；
（2）求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径r2；
（3）求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角θ的函数关系式；
（4）若带电粒子在第19s内恰好没有离开斜面，19s后电场变为垂直斜面向上的匀强电场，电场大小变为$\frac{3}{4}$E0cosθ，并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏CE。已知带电粒子在电场变化后打在荧光屏上的位置与C点的距离为$\frac{q{E}_{0}cosθ}{32{π}^{2}m}$，求19s末带电粒子与斜面底端C点的距离L（计算结果用角度关系表示）。
题目解答
答案
解：（1）由题意知，稳定后质量为m的带负电粒子在金属板间受到电场力和竖直向上的洛伦兹力，且做直线运动，则电场力必竖直向下，板间匀强电场方向竖直向上，则金属板B带正电、A带负电，可得两板之间的电势差UAB＜0；因洛伦兹力大小恒定，故粒子做匀速直线运动，处于平衡状态，则有：
qE=qv0B1
E=$\frac{U}{d}$
解得：U=v0B1d
UAB=-U=-v0B1d
（2）带电粒子在B2磁场中只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得：
qv0B2=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：r2=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$
（3）粒子在第一象限内的矩形磁场内只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，轨迹及所求最小矩形磁场区域如右图所示：
由几何关系可得：轨迹的竖直方向的半径与相邻的矩形长边夹角为$\frac{θ}{2}$，最小的磁场面积对应的矩形的长为2r2cos$\frac{θ}{2}$，宽为r2-r2sin$\frac{θ}{2}$，则有：
则磁场最小面积：S=2r2cos$\frac{θ}{2}$×（r2-r2sin$\frac{θ}{2}$）
整理得：磁场的最小面积与斜面倾角θ的函数关系式：S=$\frac{{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}_{2}^{2}}$（2cos$\frac{θ}{2}$-sinθ）
（4）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，T=$\frac{2πr}{v}$，得粒子在只有磁场B3中的运动周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{3}}$，将B3=$\frac{2πm}{q}$ 代入得：T=1s
第奇数秒内正交电磁场共存，电场力竖直向下，粒子沿斜面匀加速运动，第偶数秒内只存在磁场，洛伦兹力垂直斜面向上，粒子离开斜面做匀速圆周运动，因周期恰好为1s，粒子恰好做一个完整的圆周运动回到斜面，继而在正交电磁场沿斜面匀加速运动，1s后离开斜面圆周运动一周再次回到斜面做匀加速运动，周而复始，直到第19s末恰好离开斜面，其在第三象限的运动轨迹如下图所示，其中P为粒子在第19s末的位置，D为粒子打在屏上的位置。
粒子在0～19s内共有10个偶数秒内做匀加速直线运动，可以看做一个连续t=10s的匀加速运动，设第19s末的速度为v，加速度为a，则有：
a=$\frac{q{E}_{0}sinθ}{m}$，v=at=$\frac{10q{E}_{0}sinθ}{m}$……①。
已知小球在第19s内恰好没有离开斜面，即第19s末恰好离开斜面，此时带电粒子与斜面之间的弹力为零，则有：
qvB3=qE0cosθ，解得：v=$\frac{{E}_{0}cosθ}{{B}_{3}}$，将B3=$\frac{2πm}{q}$ 代入得：v=$\frac{q{E}_{0}cosθ}{2πm}$……②
联立①②两式得：tanθ=$\frac{1}{20π}$
19s后电场变为垂直斜面向上的匀强电场，电场大小变为$\frac{3}{4}$E0cosθ，此时：
因电场力F垂直斜面向下且大小为：F=$\frac{3}{4}$qE0cosθ=$\frac{3}{4}$qvB3，
故将v分解为同一方向的$\frac{3}{4}$v和$\frac{1}{4}$v，即v=$\frac{3}{4}$v+$\frac{1}{4}$v；
其中分速度$\frac{3}{4}$v对应的洛伦兹力f1=$\frac{3}{4}$qvB3与电场力F平衡；分速度$\frac{1}{4}$v对应的洛伦兹力f2使粒子做匀速圆周运动，设其半径为r3。
因此19s以后粒子将做沿着斜面的匀速直线运动和匀速圆周运动。
圆周运动半径为r3=$\frac{m•\frac{1}{4}v}{q{B}_{3}}$=$\frac{q{E}_{0}cosθ}{16{π}^{2}m}$
又已知CD=$\frac{q{E}_{0}cosθ}{32{π}^{2}m}$=$\frac{1}{2}{r}_{3}$
由几何关系得圆周运动对应的圆心角β=60°，则有：
P到D的运动时间t′=$\frac{60°}{360°}T$=$\frac{1}{6}×1$ s=$\frac{1}{6}$ s
19s末时带电粒子与斜面底端C的距离：
L=$\frac{3}{4}vt′$+r3sinβ=$\frac{q{E}_{0}cosθ}{16πm}$+$\frac{\sqrt{3}q{E}_{0}cosθ}{32{π}^{2}m}$
整理得：L=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2π}$）$\frac{q{E}_{0}cosθ}{16πm}$ （其中：θ满足tanθ=$\frac{1}{20π}$）
答：（1）稳定后两金属板之间的电势差UAB为-v0B1d；
（2）带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径r2为$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$；
（3）第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角θ的函数关系式为S=$\frac{{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}_{2}^{2}}$（2cos$\frac{θ}{2}$-sinθ）；
（4）19s末带电粒子与斜面底端C点的距离L为L=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2π}$）$\frac{q{E}_{0}cosθ}{16πm}$ （其中：θ满足tanθ=$\frac{1}{20π}$）。
qE=qv0B1
E=$\frac{U}{d}$
解得：U=v0B1d
UAB=-U=-v0B1d
（2）带电粒子在B2磁场中只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得：
qv0B2=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：r2=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$
（3）粒子在第一象限内的矩形磁场内只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，轨迹及所求最小矩形磁场区域如右图所示：由几何关系可得：轨迹的竖直方向的半径与相邻的矩形长边夹角为$\frac{θ}{2}$，最小的磁场面积对应的矩形的长为2r2cos$\frac{θ}{2}$，宽为r2-r2sin$\frac{θ}{2}$，则有：
则磁场最小面积：S=2r2cos$\frac{θ}{2}$×（r2-r2sin$\frac{θ}{2}$）
整理得：磁场的最小面积与斜面倾角θ的函数关系式：S=$\frac{{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}_{2}^{2}}$（2cos$\frac{θ}{2}$-sinθ）
（4）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，T=$\frac{2πr}{v}$，得粒子在只有磁场B3中的运动周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{3}}$，将B3=$\frac{2πm}{q}$ 代入得：T=1s
第奇数秒内正交电磁场共存，电场力竖直向下，粒子沿斜面匀加速运动，第偶数秒内只存在磁场，洛伦兹力垂直斜面向上，粒子离开斜面做匀速圆周运动，因周期恰好为1s，粒子恰好做一个完整的圆周运动回到斜面，继而在正交电磁场沿斜面匀加速运动，1s后离开斜面圆周运动一周再次回到斜面做匀加速运动，周而复始，直到第19s末恰好离开斜面，其在第三象限的运动轨迹如下图所示，其中P为粒子在第19s末的位置，D为粒子打在屏上的位置。
粒子在0～19s内共有10个偶数秒内做匀加速直线运动，可以看做一个连续t=10s的匀加速运动，设第19s末的速度为v，加速度为a，则有：
a=$\frac{q{E}_{0}sinθ}{m}$，v=at=$\frac{10q{E}_{0}sinθ}{m}$……①。
已知小球在第19s内恰好没有离开斜面，即第19s末恰好离开斜面，此时带电粒子与斜面之间的弹力为零，则有：
qvB3=qE0cosθ，解得：v=$\frac{{E}_{0}cosθ}{{B}_{3}}$，将B3=$\frac{2πm}{q}$ 代入得：v=$\frac{q{E}_{0}cosθ}{2πm}$……②
联立①②两式得：tanθ=$\frac{1}{20π}$
19s后电场变为垂直斜面向上的匀强电场，电场大小变为$\frac{3}{4}$E0cosθ，此时：因电场力F垂直斜面向下且大小为：F=$\frac{3}{4}$qE0cosθ=$\frac{3}{4}$qvB3，
故将v分解为同一方向的$\frac{3}{4}$v和$\frac{1}{4}$v，即v=$\frac{3}{4}$v+$\frac{1}{4}$v；
其中分速度$\frac{3}{4}$v对应的洛伦兹力f1=$\frac{3}{4}$qvB3与电场力F平衡；分速度$\frac{1}{4}$v对应的洛伦兹力f2使粒子做匀速圆周运动，设其半径为r3。
因此19s以后粒子将做沿着斜面的匀速直线运动和匀速圆周运动。
圆周运动半径为r3=$\frac{m•\frac{1}{4}v}{q{B}_{3}}$=$\frac{q{E}_{0}cosθ}{16{π}^{2}m}$
又已知CD=$\frac{q{E}_{0}cosθ}{32{π}^{2}m}$=$\frac{1}{2}{r}_{3}$
由几何关系得圆周运动对应的圆心角β=60°，则有：
P到D的运动时间t′=$\frac{60°}{360°}T$=$\frac{1}{6}×1$ s=$\frac{1}{6}$ s
19s末时带电粒子与斜面底端C的距离：
L=$\frac{3}{4}vt′$+r3sinβ=$\frac{q{E}_{0}cosθ}{16πm}$+$\frac{\sqrt{3}q{E}_{0}cosθ}{32{π}^{2}m}$
整理得：L=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2π}$）$\frac{q{E}_{0}cosθ}{16πm}$ （其中：θ满足tanθ=$\frac{1}{20π}$）
答：（1）稳定后两金属板之间的电势差UAB为-v0B1d；
（2）带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径r2为$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$；
（3）第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角θ的函数关系式为S=$\frac{{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}_{2}^{2}}$（2cos$\frac{θ}{2}$-sinθ）；
（4）19s末带电粒子与斜面底端C点的距离L为L=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2π}$）$\frac{q{E}_{0}cosθ}{16πm}$ （其中：θ满足tanθ=$\frac{1}{20π}$）。