lim _(narrow infty )dfrac ({2)^n+(3)^n}({2)^n+1+(3)^n+1}=________;

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是涉及指数型数列的极限求解方法。关键在于识别主导项并进行合理变形。

解题核心思路：
当分子和分母均为指数函数的和时，找出增长最快的项作为主导项，通过分子分母同除以主导项的指数形式，将原式转化为易于求极限的形式。此时，底数小于1的指数项会趋近于0，从而简化表达式。

破题关键点：

1. 识别主导项：分母和分子中，底数较大的指数项（如$3^n$）会主导整个表达式的行为。
2. 变形化简：通过分子分母同除以主导项的指数形式（如$3^n$），将原式转化为包含$(2/3)^n$的形式，利用其极限为0的性质简化计算。

步骤1：观察分子和分母的主导项
分子为$2^n + 3^n$，分母为$2^{n+2} + 3^{n+1}$。显然，$3^n$和$3^{n+1}$是主导项，因为$3 > 2$。

步骤2：分子分母同除以主导项的指数形式
将分子和分母同时除以$3^n$，得到：
$\frac{2^n + 3^n}{2^{n+2} + 3^{n+1}} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}{4\left(\frac{2}{3}\right)^n + 3}$

步骤3：计算极限
当$n \to \infty$时，$\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$，因此分子趋近于$1$，分母趋近于$3$，故极限为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}{4\left(\frac{2}{3}\right)^n + 3} = \frac{1}{3}$