质量为 m'，半径为 a 的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。有一质量为 m 的质点沿此半球面滑下。设质点的初位置与球心的连线和竖直方向上的直线间所成之角为 alpha，并且起始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 theta 时 dot(theta) 之值。

根据系统水平方向动量守恒，可得： \[ \dot{x} = \frac{m a \dot{\theta} \sin\theta}{m' + m} \] 结合机械能守恒： \[ m g a (\cos\alpha - \cos\theta) = \frac{1}{2} m' \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m v^2 \] 将 $ v^2 $ 和 $ \dot{x}^2 $ 代入并化简，得： \[ \dot{\theta} = \sqrt{\frac{2 g (m' + m)^2 (\cos\alpha - \cos\theta)}{a [(m')^2 + m' m (1 + \cos^2\theta) + m^2 \cos^2\theta]}} \] 此式即为所求 $ \dot{\theta} $ 的表达式。 最终结果： \[ \dot{\theta} = \sqrt{\frac{2 g (m' + m)^2 (\cos\alpha - \cos\theta)}{a [(m')^2 + m' m (1 + \cos^2\theta) + m^2 \cos^2\theta]}} \]