质量为 m'，半径为 a 的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。有一质量为 m 的质点沿此半球面滑下。设质点的初位置与球心的连线和竖直方向上的直线间所成之角为 alpha，并且起始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 theta 时 dot(theta) 之值。

本题主要考察了系统的动量守恒定律和机械能守恒定律的应用，通过这两个守恒定律建立方程，进而求解质点滑到特定位置时 $\dot{\theta}$ 的值。解题思路如下：

1. 分析系统水平方向动量守恒：
   • 由于半球底面放在光滑水平面上，系统在水平方向不受外力，所以系统在水平方向动量守恒。
   • 设质点的水平坐标为 $x$，半球的水平坐标为 $X$，根据动量守恒定律，系统初始水平动量为 $0$，则在任意时刻有 $m\dot{x}+m'\dot{X}=0$。
   • 又因为质点相对于半球的水平运动关系，质点相对于半球的水平速度为 $a\dot{\theta}\sin\theta$，且 $\dot{x}-\dot{X}=a\dot{\theta}\sin\theta$。
   • 联立上述两个方程：
     • 由 $m\dot{x}+m'\dot{X}=0$ 可得 $\dot{X}=-\frac{m}{m'}\dot{x}$。
     • 将 $\dot{X}=-\frac{m}{m'}\dot{x}$ 代入 $\dot{x}-\dot{X}=a\dot{\theta}\sin\theta$ 中，得到 $\dot{x}+\frac{m}{m'}\dot{x}=a\dot{\theta}\sin\theta$。
     • 合并同类项得 $\left(1 + \frac{m}{m'}\right)\dot{x}=a\dot{\theta}\sin\theta$，即 $\frac{m' + m}{m'}\dot{x}=a\dot{\theta}\sin\theta$。
     • 解得 $\dot{x}=\frac{m a \dot{\theta} \sin\theta}{m' + m}$。
2. 分析系统机械能守恒：
   • 系统只有重力做功，所以机械能守恒。
   • 以半球底面为零势能面，初始时质点的高度为 $a\cos\alpha$，动能为 $0$；当质点滑到与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 $\theta$ 时，质点的高度为 $a\cos\theta$，速度为 $v$，半球的速度为 $\dot{x}$。
   • 根据机械能守恒定律可得：$m g a \cos\alpha=\frac{1}{2} m' \dot{x}^2+\frac{1}{2} m v^2 + m g a \cos\theta$。
   • 移项可得 $m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=\frac{1}{2} m' \dot{x}^2+\frac{1}{2} m v^2$。
3. 计算质点速度 $v$ 的平方：
   • 质点的速度 $v$ 可分解为水平速度 $\dot{x}$ 和垂直于水平方向的速度 $a\dot{\theta}\cos\theta$，根据速度的合成，$v^2=\dot{x}^2+(a\dot{\theta}\cos\theta)^2$。
4. 将 $\dot{x}$ 和 $v^2$ 代入机械能守恒方程并化简：
   • 把 $\dot{x}=\frac{m a \dot{\theta} \sin\theta}{m' + m}$ 和 $v^2=\dot{x}^2+(a\dot{\theta}\cos\theta)^2$ 代入 $m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=\frac{1}{2} m' \dot{x}^2+\frac{1}{2} m v^2$ 中。
   • 先将 $v^2$ 代入得：$m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=\frac{1}{2} m' \dot{x}^2+\frac{1}{2} m (\dot{x}^2+(a\dot{\theta}\cos\theta)^2)$。
   • 展开得：$m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=\frac{1}{2} m' \dot{x}^2+\frac{1}{2} m \dot{x}^2+\frac{1}{2} m a^2\dot{\theta}^2\cos^2\theta$。
   • 合并同类项得：$m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=\frac{1}{2}(m' + m) \dot{x}^2+\frac{1}{2} m a^2\dot{\theta}^2\cos^2\theta$。
   • 再将 $\dot{x}=\frac{m a \dot{\theta} \sin\theta}{m' + m}$ 代入上式：
     • $m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=\frac{1}{2}(m' + m)\left(\frac{m a \dot{\theta} \sin\theta}{m' + m}\right)^2+\frac{1}{2} m a^2\dot{\theta}^2\cos^2\theta$。
     • 化简得：$m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=\frac{1}{2}\frac{m^2 a^2\dot{\theta}^2\sin^2\theta}{m' + m}+\frac{1}{2} m a^2\dot{\theta}^2\cos^2\theta$。
     • 等式两边同时乘以 $2$ 得：$2m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=\frac{m^2 a^2\dot{\theta}^2\sin^2\theta}{m' + m}+ m a^2\dot{\theta}^2\cos^2\theta$。
     • 提取公因式 $a^2\dot{\theta}^2$ 得：$2m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=a^2\dot{\theta}^2\left(\frac{m^2\sin^2\theta}{m' + m}+ m \cos^2\theta\right)$。
     • 因为 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$，则：
       • $2m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=a^2\dot{\theta}^2\left(\frac{m^2(1 - \cos^2\theta)}{m' + m}+ m \cos^2\theta\right)$。
       • 通分得到：$2m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=a^2\dot{\theta}^2\frac{m^2 - m^2\cos^2\theta + m(m' + m)\cos^2\theta}{m' + m}$。
       • 进一步化简分子得：$2m g a (\cos\alpha - \cos\theta)=a^2\dot{\theta}^2\frac{m^2 + m m'\cos^2\theta + m^2\cos^2\theta}{m' + m}$。
       • 等式两边同时除以 $a^2$ 得：$\frac{2m g (\cos\alpha - \cos\theta)}{a}=\dot{\theta}^2\frac{m^2 + m m'\cos^2\theta + m^2\cos^2\theta}{m' + m}$。
       • 则 $\dot{\theta}^2=\frac{2 g (m' + m)^2 (\cos\alpha - \cos\theta)}{a [(m')^2 + m' m (1 + \cos^2\theta) + m^2 \cos^2\theta]}$。
   • 开方可得 $\dot{\theta}=\sqrt{\frac{2 g (m' + m)^2 (\cos\alpha - \cos\theta)}{a [(m')^2 + m' m (1 + \cos^2\theta) + m^2 \cos^2\theta]}}$。