题目
如图所示真空中一长为l的圆柱形电容器,两极板半径分别为R1和R1(R1且R1R_1" data-width="75" data-height="22" data-size="1036" data-format="png" style="max-width:100%">) 。设两极板单位长度上分别带有电量R1和R1。R1求1 ) 两个圆柱面之间 (R1) 的场强; 2 ) 两个圆柱面之间的电势差;3 ) 该电容器的电容
如图所示真空中一长为l的圆柱形电容器,两极板半径分别为
和
(
且
R_1" data-width="75" data-height="22" data-size="1036" data-format="png" style="max-width:100%">) 。设两极板单位长度上分别带有电量
和
。
求
1 ) 两个圆柱面之间 (
) 的场强;
2 ) 两个圆柱面之间的电势差;
3 ) 该电容器的电容
题目解答
答案
解：
解析
步骤 1：高斯定理的应用
根据高斯定理，对于圆柱形电容器，选取一个半径为r的圆柱形高斯面，其中${R}_{1}\lt r\lt {R}_{2}$。高斯面上的电场强度E与高斯面的法线方向平行，因此高斯面上的电通量为$2\pi rlE$。根据高斯定理，电通量等于高斯面内电荷量除以真空介电常数$\varepsilon_0$，即$2\pi rlE=\frac{\lambda}{\varepsilon_0}$。由此可得电场强度$E=\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}$。
步骤 2：电势差的计算
电势差等于电场强度沿路径的积分。选取从${R}_{1}$到${R}_{2}$的路径，电势差$V=\int_{R_1}^{R_2}E\cdot dr=\int_{R_1}^{R_2}\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}dr=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}$。
步骤 3：电容的计算
电容定义为电荷量与电势差的比值，即$C=\frac{Q}{V}$。对于单位长度的圆柱形电容器，电荷量为$\lambda$，电势差为$\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}$，因此电容$C=\frac{\lambda}{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}}=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\frac{R_2}{R_1}}$。
根据高斯定理，对于圆柱形电容器，选取一个半径为r的圆柱形高斯面，其中${R}_{1}\lt r\lt {R}_{2}$。高斯面上的电场强度E与高斯面的法线方向平行，因此高斯面上的电通量为$2\pi rlE$。根据高斯定理，电通量等于高斯面内电荷量除以真空介电常数$\varepsilon_0$，即$2\pi rlE=\frac{\lambda}{\varepsilon_0}$。由此可得电场强度$E=\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}$。
步骤 2：电势差的计算
电势差等于电场强度沿路径的积分。选取从${R}_{1}$到${R}_{2}$的路径，电势差$V=\int_{R_1}^{R_2}E\cdot dr=\int_{R_1}^{R_2}\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}dr=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}$。
步骤 3：电容的计算
电容定义为电荷量与电势差的比值，即$C=\frac{Q}{V}$。对于单位长度的圆柱形电容器，电荷量为$\lambda$，电势差为$\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}$，因此电容$C=\frac{\lambda}{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}}=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\frac{R_2}{R_1}}$。