题目
一个具有常密度mu，半径为a的半球形物体，占有空间区域Omega:0leq zleqsqrt(a^2-x^2-y^2)，该物体的质心为（）。A. (0,0,(3a)/(5))B. (0,0,(3a)/(7))C. (0,0,(3a)/(8))D. (0,0,(3a)/(10))
一个具有常密度$\mu$，半径为$a$的半球形物体，占有空间区域$\Omega:0\leq z\leq\sqrt{a^2-x^2-y^2}$，该物体的质心为（）。
A. $\left(0,0,\frac{3a}{5}\right)$
B. $\left(0,0,\frac{3a}{7}\right)$
C. $\left(0,0,\frac{3a}{8}\right)$
D. $\left(0,0,\frac{3a}{10}\right)$
题目解答
答案
C. $\left(0,0,\frac{3a}{8}\right)$
解析
步骤 1：计算体积
半球体积 $V$ 可以通过积分计算，对于半球，体积公式为 $V = \frac{2}{3} \pi a^3$。
步骤 2：计算 $\iiint z \, dV$
为了计算质心的 $z$ 坐标，我们需要计算 $\iiint z \, dV$。转换为球坐标，积分得 $\iiint z \, dV = \frac{\pi a^4}{4}$。
步骤 3：求质心 $z$ 坐标
质心的 $z$ 坐标 $\overline{z}$ 可以通过 $\overline{z} = \frac{\iiint z \, dV}{V}$ 计算。将步骤 2 和步骤 1 的结果代入，得到 $\overline{z} = \frac{\frac{\pi a^4}{4}}{\frac{2}{3} \pi a^3} = \frac{3a}{8}$。
半球体积 $V$ 可以通过积分计算，对于半球，体积公式为 $V = \frac{2}{3} \pi a^3$。
步骤 2：计算 $\iiint z \, dV$
为了计算质心的 $z$ 坐标，我们需要计算 $\iiint z \, dV$。转换为球坐标，积分得 $\iiint z \, dV = \frac{\pi a^4}{4}$。
步骤 3：求质心 $z$ 坐标
质心的 $z$ 坐标 $\overline{z}$ 可以通过 $\overline{z} = \frac{\iiint z \, dV}{V}$ 计算。将步骤 2 和步骤 1 的结果代入，得到 $\overline{z} = \frac{\frac{\pi a^4}{4}}{\frac{2}{3} \pi a^3} = \frac{3a}{8}$。