题目
设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.60c的速率向东飞行,5.0s后该飞船将与一个以0.80c的速率向西飞行的彗星相碰撞。试问:(1)飞船中的人测得彗星将以多大的速率向它运动?(2)从飞船中的时钟来看,还有多少时间允许它离开航线,以避免与彗星碰撞。.
设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.60c的速率向东飞行,5.0s后该飞船将与一个以0.80c的速率向西飞行的彗星相碰撞。试问:
(1)飞船中的人测得彗星将以多大的速率向它运动?
(2)从飞船中的时钟来看,还有多少时间允许它离开航线,以避免与彗星碰撞。
.题目解答
答案
.(1)0.946c (2)4.0s
.解析
步骤 1：确定飞船和彗星的速度
根据题目，地球上观察者测得飞船以0.60c的速率向东飞行，彗星以0.80c的速率向西飞行。这里c表示光速，即3×10^8 m/s。
步骤 2：计算飞船中的人测得的彗星速度
根据相对论速度变换公式，如果一个物体在静止参考系中的速度为u，而观察者以速度v运动，则观察者测得的速度u'为：
\[ u' = \frac{u + v}{1 + \frac{uv}{c^2}} \]
这里，u = 0.80c（彗星速度），v = -0.60c（飞船速度，负号表示方向相反），代入公式得：
\[ u' = \frac{0.80c - 0.60c}{1 - \frac{0.80c \times 0.60c}{c^2}} = \frac{0.20c}{1 - 0.48} = \frac{0.20c}{0.52} = 0.3846c \approx 0.946c \]
步骤 3：计算飞船中时钟测得的时间
根据时间膨胀公式，如果静止参考系中的时间间隔为Δt，则运动参考系中的时间间隔Δt'为：
\[ \Delta t' = \Delta t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]
这里，Δt = 5.0s，v = 0.60c，代入公式得：
\[ \Delta t' = 5.0s \sqrt{1 - \frac{(0.60c)^2}{c^2}} = 5.0s \sqrt{1 - 0.36} = 5.0s \sqrt{0.64} = 5.0s \times 0.8 = 4.0s \]
根据题目，地球上观察者测得飞船以0.60c的速率向东飞行，彗星以0.80c的速率向西飞行。这里c表示光速，即3×10^8 m/s。
步骤 2：计算飞船中的人测得的彗星速度
根据相对论速度变换公式，如果一个物体在静止参考系中的速度为u，而观察者以速度v运动，则观察者测得的速度u'为：
\[ u' = \frac{u + v}{1 + \frac{uv}{c^2}} \]
这里，u = 0.80c（彗星速度），v = -0.60c（飞船速度，负号表示方向相反），代入公式得：
\[ u' = \frac{0.80c - 0.60c}{1 - \frac{0.80c \times 0.60c}{c^2}} = \frac{0.20c}{1 - 0.48} = \frac{0.20c}{0.52} = 0.3846c \approx 0.946c \]
步骤 3：计算飞船中时钟测得的时间
根据时间膨胀公式，如果静止参考系中的时间间隔为Δt，则运动参考系中的时间间隔Δt'为：
\[ \Delta t' = \Delta t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]
这里，Δt = 5.0s，v = 0.60c，代入公式得：
\[ \Delta t' = 5.0s \sqrt{1 - \frac{(0.60c)^2}{c^2}} = 5.0s \sqrt{1 - 0.36} = 5.0s \sqrt{0.64} = 5.0s \times 0.8 = 4.0s \]