1、设X_(1),X_(2),...,X_(n)为总体X的一个样本，X的概率密度为f(x)=}thetacdot3^thetax^-theta+1,x>30,其他,其中theta>1，是未知参数，求theta矩估计量和最大似然估计量。（要严格按矩估计量和最大似然估计量求解步骤解答）

为了找到参数$\theta$的矩估计量和最大似然估计量，我们将按照以下步骤进行： ### 矩估计量 1. **找到总体的期望值$E(X)$:** 总体$X$的概率密度函数为： \[ f(x) = \begin{cases} \theta \cdot 3^{\theta} x^{-\theta-1}, & x > 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \] 期望值 $E(X)$由下式给出： \[ E(X) = \int_{3}^{\infty} x \cdot \theta \cdot 3^{\theta} x^{-\theta-1} \, dx = \theta \cdot 3^{\theta} \int_{3}^{\infty} x^{-\theta} \, dx \] 积分$\int_{3}^{\infty} x^{-\theta} \, dx$为： \[ \int_{3}^{\infty} x^{-\theta} \, dx = \left[ \frac{x^{-\theta+1}}{-\theta+1} \right]_{3}^{\infty} = \frac{3^{-\theta+1}}{\theta-1} \] 因此， \[ E(X) = \theta \cdot 3^{\theta} \cdot \frac{3^{-\theta+1}}{\theta-1} = \frac{3\theta}{\theta-1} \] 2. **将期望值设为样本均值并解出$\theta$:** 设$\bar{X}$为样本均值。矩估计量$\hat{\theta}$通过解方程找到： \[ \bar{X} = \frac{3\theta}{\theta-1} \] 重新排列方程以解出$\theta$: \[ \bar{X}(\theta-1) = 3\theta \implies \bar{X}\theta - \bar{X} = 3\theta \implies \bar{X}\theta - 3\theta = \bar{X} \implies \theta(\bar{X} - 3) = \bar{X} \implies \theta = \frac{\bar{X}}{\bar{X} - 3} \] 因此，$\theta$的矩估计量为： \[ \hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X} - 3} \] ### 最大似然估计量 1. **写出似然函数:** 似然函数 $L(\theta)$是概率密度函数的乘积： \[ L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \prod_{i=1}^{n} \theta \cdot 3^{\theta} X_i^{-\theta-1} = \theta^n \cdot 3^{n\theta} \cdot \prod_{i=1}^{n} X_i^{-\theta-1} \] 这可以重写为： \[ L(\theta) = \theta^n \cdot 3^{n\theta} \cdot \left( \prod_{i=1}^{n} X_i \right)^{-\theta-1} \] 2. **取似然函数的对数:** 对数似然函数 $\ell(\theta)$为： \[ \ell(\theta) = \ln L(\theta) = n \ln \theta + n\theta \ln 3 + (-\theta-1) \sum_{i=1}^{n} \ln X_i \] 简化后，我们得到： \[ \ell(\theta) = n \ln \theta + n\theta \ln 3 - (\theta+1) \sum_{i=1}^{n} \ln X_i \] 3. **对对数似然函数关于$\theta$求导并设为零:** \[ \frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + n \ln 3 - \sum_{i=1}^{n} \ln X_i = 0 \] 解出$\theta$: \[ \frac{n}{\theta} = \sum_{i=1}^{n} \ln X_i - n \ln 3 \implies \frac{n}{\theta} = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{X_i}{3} \right) \implies \theta = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{X_i}{3} \right)} \] 因此，$\theta$的最大似然估计量为： \[ \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{X_i}{3} \right)} \] 最终答案为： \[ \boxed{\hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X} - 3}} \quad \text{(矩估计量)} \] \[ \boxed{\hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{X_i}{3} \right)}} \quad \text{(最大似然估计量)} \]