求下列极限：；；；；.

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是利用泰勒展开或洛必达法则处理0/0型不定式的能力。

解题核心思路：

1. 分子分母同阶展开：当分子分母均为无穷小量时，通过泰勒展开保留主要项，比较最高次幂的系数求极限。
2. 洛必达法则：若直接展开困难，可对分子分母连续求导，直到分式可定值。

破题关键点：

• 识别0/0型不定式，选择合适方法简化计算。
• 准确展开关键函数（如$\cos x$、$\ln(1+x)$）至足够高阶，确保保留有效项。

第一题：$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x^{2}+2\cos x-2}{x^{3}\ln (1+x)}$

分子展开

$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)$，代入分子：
$x^2 + 2\cos x - 2 = x^2 + 2\left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right) - 2 = \dfrac{x^4}{12} + o(x^4)$

分母展开

$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$，代入分母：
$x^3 \ln(1+x) = x^3 \left(x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}\right) = x^4 - \dfrac{x^5}{2} + \dfrac{x^6}{3} + o(x^6)$

化简分式

保留最高次项：
$\frac{\dfrac{x^4}{12}}{x^4} = \frac{1}{12}$

结论：极限值为$\dfrac{1}{12}$。