箱长为 l 的一维势箱中运动的粒子（质量为 m）处在某一任意能级 E_n 中，问：(1) 粒子的坐标 x 有无确定值？若有，其值多少？若无，则求其平均值；(2) 粒子的动量 p_x 有无确定值？若有，其值多少？若无，则求其平均值；(3) 粒子的动量平方 p_x^2 有无确定值？若有，其值多少？若无，则求其平均值；(4) 粒子的动能有无确定值？若有，其值是多少？若无，则求其平均值。

本题主要考查一维势箱中粒子的量子力学性质，包括坐标、动量、动量平方和动能的确定性及平均值的计算。解题的关键在于利用量子力学的基本原理和一维势箱的波函数来进行分析和计算。

(1) 粒子坐标 $x$ 的情况

在量子力学中，对于一维势箱中的粒子，其波函数为 $\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\frac{n\pi x}{l})$，$0\leq x\leq l$。由于粒子处于某一任意能级 $E_n$，其状态由波函数描述，而不是处于坐标的本征态，所以粒子的坐标 $x$ 没有确定值。
根据坐标平均值的计算公式 $\langle x \rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n^*(x)x\psi_n(x)dx$，对于一维势箱，积分区间为 $[0,l]$，则：
$\begin{align*}\langle x \rangle&=\int_{0}^{l}\left(\sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\frac{n\pi x}{l})\right)x\left(\sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\frac{n\pi x}{l})\right)dx\\&=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}x\sin^2(\frac{n\pi x}{l})dx\end{align*}$
利用三角函数公式 $\sin^2\alpha=\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$，将上式中的 $\sin^2(\frac{n\pi x}{l})$ 进行替换：
$\begin{align*}\langle x \rangle&=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}x\cdot\frac{1 - \cos(\frac{2n\pi x}{l})}{2}dx\\&=\frac{1}{l}\int_{0}^{l}x dx-\frac{1}{l}\int_{0}^{l}x\cos(\frac{2n\pi x}{l})dx\end{align*}$
对于 $\int_{0}^{l}x dx$，根据积分公式 $\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$，可得 $\int_{0}^{l}x dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^l=\frac{l^2}{2}$。
对于 $\int_{0}^{l}x\cos(\frac{2n\pi x}{l})dx$，使用分部积分法 $\int u dv=uv-\int v du$，令 $u = x$，$dv=\cos(\frac{2n\pi x}{l})dx$，则 $du = dx$，$v=\frac{l}{2n\pi}\sin(\frac{2n\pi x}{l})$，可得：
$\begin{align*}\int_{0}^{l}x\cos(\frac{2n\pi x}{l})dx&=\left[x\cdot\frac{l}{2n\pi}\sin(\frac{2n\pi x}{l})\right]_0^l-\int_{0}^{l}\frac{l}{2n\pi}\sin(\frac{2n\pi x}{l})dx\\&=0+\left[\frac{l^2}{4n^2\pi^2}\cos(\frac{2n\pi x}{l})\right]_0^l\\&=\frac{l^2}{4n^2\pi^2}(\cos(2n\pi)-\cos(0))\\&=0\end{align*}$
所以 $\langle x \rangle=\frac{1}{l}\cdot\frac{l^2}{2}-0=\frac{l}{2}$。

(2) 粒子动量 $p_x$ 的情况

动量算符为 $\hat{p}_x=-i\hbar\frac{d}{dx}$，粒子的波函数 $\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\frac{n\pi x}{l})$ 不是动量算符的本征函数，所以粒子的动量 $p_x$ 没有确定值。
根据动量平均值的计算公式 $\langle p_x \rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n^*(x)\hat{p}_x\psi_n(x)dx$，对于一维势箱，积分区间为 $[0,l]$，则：
$\begin{align*}\langle p_x \rangle&=\int_{0}^{l}\left(\sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\frac{n\pi x}{l})\right)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\left(\sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\frac{n\pi x}{l})\right)dx\\&=-\frac{2i\hbar}{l}\int_{0}^{l}\sin(\frac{n\pi x}{l})\frac{n\pi}{l}\cos(\frac{n\pi x}{l})dx\\&=-\frac{in^2\pi\hbar}{l^2}\int_{0}^{l}\sin(\frac{2n\pi x}{l})dx\end{align*}$
令 $u=\frac{2n\pi x}{l}$，则 $du=\frac{2n\pi}{l}dx$，当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = l$ 时，$u = 2n\pi$，则：
$\begin{align*}\langle p_x \rangle&=-\frac{in^2\pi\hbar}{l^2}\cdot\frac{l}{2n\pi}\int_{0}^{2n\pi}\sin(u)du\\&=-\frac{in\hbar}{2l}\left[-\cos(u)\right]_0^{2n\pi}\\&=-\frac{in\hbar}{2l}(-\cos(2n\pi)+\cos(0))\\&=0\end{align*}$

(3) 粒子动量平方 $p_x^2$ 的情况

动量平方算符为 $\hat{p}_x^2=-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}$，对波函数 $\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin(\frac{n\pi x}{l})$ 求二阶导数：
$\frac{d\psi_n(x)}{dx}=\sqrt{\frac{2}{l}}\cdot\frac{n\pi}{l}\cos(\frac{n\pi x}{l})$
$\frac{d^2\psi_n(x)}{dx^2}=-\sqrt{\frac{2}{l}}\cdot\frac{n^2\pi^2}{l^2}\sin(\frac{n\pi x}{l})=-\frac{n^2\pi^2}{l^2}\psi_n(x)$
则 $\hat{p}_x^2\psi_n(x)=-\hbar^2\frac{d^2\psi_n(x)}{dx^2}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{l^2}\psi_n(x)$，这表明波函数 $\psi_n(x)$ 是动量平方算符的本征函数，本征值为 $\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{l^2}$，所以粒子的动量平方 $p_x^2$ 有确定值，其值为 $\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{l^2}$。

(4) 粒子动能的情况

动能算符为 $\hat{T}=\frac{\hat{p}_x^2}{2m}$，由前面计算可知 $\hat{p}_x^2\psi_n(x)=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{l^2}\psi_n(x)$，则 $\hat{T}\psi_n(x)=\frac{1}{2m}\hat{p}_x^2\psi_n(x)=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ml^2}\psi_n(x)$，这表明波函数 $\psi_n(x)$ 是动能算符的本征函数，本征值为 $\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ml^2}$，而一维势箱中粒子的能级 $E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ml^2}$，所以粒子的动能有确定值，其值为 $E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ml^2}$。