题目
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (1) 证明α1，α2，α3线性无关； (2) 令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP．
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． (1) 证明α1，α2，α3线性无关； (2) 令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP．
题目解答
答案
(1) 假设口α1，α2，α3线性相关，则α3可由α1，α2线性表出，可设α3=k1α1+k2α2，其中k1，k2不全为0，否则由等式Aα3=α2+α3得到α2=0，不符合题设． 因为α1，α2为矩阵A的分别属于特征值-1，1的特征向量，所以α1，α2线性无关，且有Aα1=-α1，Aα2=α2，则 Aα3=A(k1α1+k2α2)=-k1α1+k2α2=α2+k1α1+k2α2．又α1，α2相互独立，等式中α1，α2的对应系数相等，即： [*] 显然此方程组无解．故假设不成立，从而可知α1，α2，α3线性无关． (2) 因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P=(α1，α2，α3)可逆．由于 [*] 等式两边同时左乘矩阵P的逆矩阵P-1，可得 [*]
解析
步骤 1：证明α1，α2，α3线性无关
假设α1，α2，α3线性相关，则存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0。由于α1，α2为A的特征向量，分别对应特征值-1和1，所以有Aα1=-α1，Aα2=α2。由Aα3=α2+α3，可以得到A(k1α1+k2α2+k3α3)=k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3=-k1α1+k2α2+k3(α2+α3)。将k1α1+k2α2+k3α3=0代入上式，得到0=-k1α1+k2α2+k3(α2+α3)。由于α1，α2线性无关，所以-k1α1+k2α2+k3(α2+α3)=0意味着k1=k2=k3=0，这与假设矛盾。因此，α1，α2，α3线性无关。
步骤 2：求P-1AP
令P=(α1，α2，α3)，则P-1AP的计算如下：首先，根据特征向量的定义，有Aα1=-α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α3。将这些等式写成矩阵形式，得到AP=[-α1，α2，α2+α3]。由于P=(α1，α2，α3)，所以P-1AP=[-α1，α2，α2+α3]P-1=[-α1，α2，α2+α3][α1，α2，α3]-1。由于α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，且P-1=[α1，α2，α3]-1。因此，P-1AP=[-α1，α2，α2+α3][α1，α2，α3]-1=[-1，0，0；0，1，1；0，0，1]。
假设α1，α2，α3线性相关，则存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0。由于α1，α2为A的特征向量，分别对应特征值-1和1，所以有Aα1=-α1，Aα2=α2。由Aα3=α2+α3，可以得到A(k1α1+k2α2+k3α3)=k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3=-k1α1+k2α2+k3(α2+α3)。将k1α1+k2α2+k3α3=0代入上式，得到0=-k1α1+k2α2+k3(α2+α3)。由于α1，α2线性无关，所以-k1α1+k2α2+k3(α2+α3)=0意味着k1=k2=k3=0，这与假设矛盾。因此，α1，α2，α3线性无关。
步骤 2：求P-1AP
令P=(α1，α2，α3)，则P-1AP的计算如下：首先，根据特征向量的定义，有Aα1=-α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α3。将这些等式写成矩阵形式，得到AP=[-α1，α2，α2+α3]。由于P=(α1，α2，α3)，所以P-1AP=[-α1，α2，α2+α3]P-1=[-α1，α2，α2+α3][α1，α2，α3]-1。由于α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，且P-1=[α1，α2，α3]-1。因此，P-1AP=[-α1，α2，α2+α3][α1，α2，α3]-1=[-1，0，0；0，1，1；0，0，1]。