题目
满足 pV^n = C（常量）的过程称为多方过程，其中常数 n 称为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容 C_n 为[ C_n = (n-gamma)/(n-1) C_V ]
满足 $pV^n = C$（常量）的过程称为多方过程，其中常数 $n$ 称为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容 $C_n$ 为
$C_n = \frac{n-\gamma}{n-1} C_V$
题目解答
答案
根据多方过程 $ pV^n = C $，可得 $ TV^{n-1} = \text{常数} $。对 $ TV^{n-1} = \text{常数} $ 微分，得：
\[
\left( \frac{dV}{dT} \right)_n = -\frac{V}{(n-1)T}
\]
将 $ pV = nRT $ 代入 $ C_n = C_V + p \left( \frac{dV}{dT} \right)_n $，得：
\[
C_n = C_V - \frac{pV}{(n-1)T} = C_V - \frac{(\gamma - 1)C_V}{(n-1)} = \frac{n - \gamma}{n - 1} C_V
\]
最终结果为：
\[
C_n = \frac{n - \gamma}{n - 1} C_V
\]
解析
本题考查理想气体多方过程热容的推导，解题思路是先根据多方过程方程和理想气体状态方程推导出 $V$ 关于 $T$ 的导数，再利用热容的定义式进行推导。
- 由多方过程方程和理想气体状态方程推导 $TV^{n - 1} = \text{常数}$：
- 已知多方过程方程 $pV^n = C$（常量），理想气体状态方程 $pV = \nu RT$（这里为了和题目中的 $C$ 区分，用 $\nu$ 表示物质的量），将 $p=\frac{\nu RT}{V}$ 代入多方过程方程可得：
$\frac{\nu RT}{V}V^n = C$ - 化简得：
$\nu RT V^{n - 1} = C$ - 因为 $\nu$、$R$、$C$ 均为常量，所以 $TV^{n - 1} = \text{常数}$。
- 已知多方过程方程 $pV^n = C$（常量），理想气体状态方程 $pV = \nu RT$（这里为了和题目中的 $C$ 区分，用 $\nu$ 表示物质的量），将 $p=\frac{\nu RT}{V}$ 代入多方过程方程可得：
- 对 $TV^{n - 1} = \text{常数}$ 求微分：
- 根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对 $TV^{n - 1}$ 求微分得：
$d(TV^{n - 1}) = V^{n - 1}dT + T(n - 1)V^{n - 2}dV = 0$ - 移项可得：
$V^{n - 1}dT = -T(n - 1)V^{n - 2}dV$ - 两边同时除以 $V^{n - 1}$ 和 $dT$，得到：
$\left( \frac{dV}{dT} \right)_n = -\frac{V}{(n - 1)T}$
- 根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对 $TV^{n - 1}$ 求微分得：
- 根据热容定义式推导 $C_n$：
- 理想气体在多方过程中的热容定义为 $C_n = \left( \frac{\delta Q}{dT} \right)_n$，根据热力学第一定律 $\delta Q = dU + pdV$，对于理想气体 $dU = C_VdT$，所以 $C_n = C_V + p \left( \frac{dV}{dT} \right)_n$。
- 将 $pV = \nu RT$ 代入上式可得：
$C_n = C_V + \frac{\nu RT}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right)_n$ - 再将 $\left( \frac{dV}{dT} \right)_n = -\frac{V}{(n - 1)T}$ 代入上式得：
$C_n = C_V - \frac{\nu RT}{V} \cdot \frac{V}{(n - 1)T} = C_V - \frac{\nu R}{n - 1}$ - 又因为对于理想气体 $C_p - C_V = \nu R$，且 $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$，即 $C_p = \gamma C_V$，所以 $\nu R = C_p - C_V = (\gamma - 1)C_V$。
- 将 $\nu R = (\gamma - 1)C_V$ 代入 $C_n = C_V - \frac{\nu R}{n - 1}$ 可得：
$C_n = C_V - \frac{(\gamma - 1)C_V}{n - 1} = \frac{(n - 1)C_V - (\gamma - 1)C_V}{n - 1} = \frac{n - \gamma}{n - 1} C_V$