题目

4.设X_(1),X_(2)...,X_(n)是来自正态总体N(mu,sigma^2)的样本，试求样本方差S^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2的数学期望及方差.

4.设$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，试求样本方差$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$的数学期望及方差.

题目解答

答案

**数学期望：** 由样本方差定义 $ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $，利用期望性质： \[ E(S^2) = \frac{1}{n-1} E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right] = \frac{1}{n-1} \left[ nE(X_i^2) - nE(\overline{X}^2) \right] \] 其中，$ E(X_i^2) = \sigma^2 + \mu^2 $，$ E(\overline{X}^2) = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 $，代入得： \[ E(S^2) = \sigma^2 \] **方差：** 由正态总体性质，$ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) $，而 $ \chi^2(n-1) $ 的方差为 $ 2(n-1) $，故： \[ D\left( \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \right) = 2(n-1) \Rightarrow D(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1} \] **答案：** \[ \boxed{\sigma^2, \frac{2\sigma^4}{n-1}} \]

解析

考查要点：本题主要考查样本方差的无偏性及其方差的计算，涉及正态总体的性质和卡方分布的应用。

解题核心思路：

  1. 数学期望：通过展开样本方差的表达式，结合样本均值的期望与方差，证明其无偏性（即$E(S^2) = \sigma^2$）。
  2. 方差：利用正态总体中$(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$的性质，结合卡方分布的方差公式推导。

破题关键点：

  • 展开平方项：将$\sum (X_i - \overline{X})^2$转化为$\sum X_i^2 - n\overline{X}^2$。
  • 卡方分布性质：正态总体下样本方差与卡方分布的联系，直接关联方差计算。

数学期望

  1. 展开平方项：
    $\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2$

  2. 计算期望：
    $E(S^2) = \frac{1}{n-1} \left[ E\left(\sum_{i=1}^n X_i^2\right) - nE(\overline{X}^2) \right]$

  3. 代入已知期望：

    • $E(X_i^2) = \sigma^2 + \mu^2$（由方差定义）
    • $E(\overline{X}^2) = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2$（样本均值的方差）

    代入后：
    $E(S^2) = \frac{1}{n-1} \left[ n(\sigma^2 + \mu^2) - n\left(\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2\right) \right] = \sigma^2$

方差

  1. 卡方分布性质：
    $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
    其方差为$2(n-1)$。

  2. 方差变换：
    $D\left(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right) = 2(n-1) \implies D(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}$