题目
2.设随机变量X的概率密度为 _(x)(x)= { ,0lt xlt 4 0, . 求随机变量 Y=2X+8 的-|||-__-|||-概率密度。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定Y的取值范围
由于 $Y = 2X + 8$，且 $0 < X < 4$，则 $8 < Y < 16$。
步骤 2：求Y的概率密度函数
根据概率密度函数的变换公式，$f_Y(y) = f_X(x) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right|$，其中 $x = \frac{y - 8}{2}$，$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2}$。
步骤 3：代入计算
将 $x = \frac{y - 8}{2}$ 代入 $f_X(x)$，得到 $f_Y(y) = \frac{1}{8} \cdot \frac{y - 8}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{y - 8}{32}$。
由于 $Y = 2X + 8$，且 $0 < X < 4$，则 $8 < Y < 16$。
步骤 2：求Y的概率密度函数
根据概率密度函数的变换公式，$f_Y(y) = f_X(x) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right|$，其中 $x = \frac{y - 8}{2}$，$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2}$。
步骤 3：代入计算
将 $x = \frac{y - 8}{2}$ 代入 $f_X(x)$，得到 $f_Y(y) = \frac{1}{8} \cdot \frac{y - 8}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{y - 8}{32}$。