已知函数 f(x)= } -2, & x leq -1 x-1, & -1 < x < 0 sqrt(1-x^2), & 0 leq x < 1 f(x)。 A. 都存在B. 都不存在C. 第一个存在,第二个不存在D. 第一个不存在,第二个存在
已知函数 $f(x)= \begin{cases} -2, & x \leq -1 \\ x-1, & -1 < x < 0 \\ \sqrt{1-x^2}, & 0 \leq x < 1 \end{cases} $，则 $\lim_{x \to -1} f(x)$和 $\lim_{x \to 0} f(x)$。
- A. 都存在
- B. 都不存在
- C. 第一个存在,第二个不存在
- D. 第一个不存在,第二个存在
题目解答
答案
为了确定极限$\lim_{x \to -1} f(x)$和$\lim_{x \to 0} f(x)$的存在性，我们需要分别分析函数$f(x)$在$x$接近$-1$和$x$接近$0$时的行为。
函数$f(x)$定义为：
$f(x) = \begin{cases} -2, & \text{如果 } x \leq -1 \\ x-1, & \text{如果 } -1 < x < 0 \\ \sqrt{1-x^2}, & \text{如果 } 0 \leq x < 1 \end{cases}$
极限$\lim_{x \to -1} f(x)$
为了找到$\lim_{x \to -1} f(x)$，我们需要考虑左极限和右极限。
-
左极限：当$x$从左边接近$-1$时，$x \leq -1$。因此，$f(x) = -2$。
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = -2$ -
右极限：当$x$从右边接近$-1$时，$-1 < x < 0$。因此，$f(x) = x - 1$。
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = -1 - 1 = -2$
由于左极限和右极限相等，极限$\lim_{x \to -1} f(x)$存在，且为$-2$。
极限$\lim_{x \to 0} f(x)$
为了找到$\lim_{x \to 0} f(x)$，我们需要考虑左极限和右极限。
-
左极限：当$x$从左边接近$0$时，$-1 < x < 0$。因此，$f(x) = x - 1$。
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 - 1 = -1$ -
右极限：当$x$从右边接近$0$时，$0 \leq x < 1$。因此，$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$。
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \sqrt{1 - 0^2} = 1$
由于左极限和右极限不相等，极限$\lim_{x \to 0} f(x)$不存在。
结论
极限$\lim_{x \to -1} f(x)$存在，但极限$\lim_{x \to 0} f(x)$不存在。因此，正确答案是：
$\boxed{C}$
解析
考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的极限存在性判断，需要分别计算左右极限并比较是否相等。
解题核心思路：
- 分段函数的极限：当函数在某点附近有不同的表达式时，必须分别计算左极限和右极限。
- 极限存在的条件：若左极限和右极限存在且相等，则极限存在；否则不存在。
破题关键点：
- 确定分段点两侧的表达式：对于$x \to -1$和$x \to 0$，明确$x$趋近时所在的区间对应的函数表达式。
- 计算左右极限：代入分段点附近的表达式，分别求出左极限和右极限的值。
$\lim_{x \to -1} f(x)$的分析
- 左极限：当$x$从左侧趋近于$-1$时，$x \leq -1$，此时$f(x) = -2$，因此：
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = -2$ - 右极限：当$x$从右侧趋近于$-1$时，$-1 < x < 0$，此时$f(x) = x - 1$，代入$x = -1$得：
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = (-1) - 1 = -2$ - 结论：左右极限相等，故$\lim_{x \to -1} f(x) = -2$，存在。
$\lim_{x \to 0} f(x)$的分析
- 左极限：当$x$从左侧趋近于$0$时，$-1 < x < 0$，此时$f(x) = x - 1$，代入$x = 0$得：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 - 1 = -1$ - 右极限：当$x$从右侧趋近于$0$时，$0 \leq x < 1$，此时$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$，代入$x = 0$得：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \sqrt{1 - 0^2} = 1$ - 结论：左右极限不相等，故$\lim_{x \to 0} f(x)$不存在。