题目
如图所示，一矩形闸门两面受到水的压力，左边水深，右边水深，闸门与水面成倾斜角。假设闸门的宽度，试求作用在闸门上的总压力及其作用点。
如图所示，一矩形闸门两面受到水的压力，左边水深
，右边水深
，闸门与水面成
倾斜角。假设闸门的宽度
，试求作用在闸门上的总压力及其作用点。
题目解答
答案
解：作用在闸门上的总压力为左右两边液体总压力之差
因为
所以
沿作用面从自由液面起取
坐标，记作用面形心点的坐标值为
，液体沿作用面淹没的闸门长度为
，则根据上式，闸门左侧液体的作用力
对应的压力中心的坐标为
与
点的距离为
同理，闸门右侧液体的作用力
对应的压力中心的坐标为
与点的距离为
记总作用力
的作用点到点的距离为
。根据合力矩定理，通过点垂直于图面的轴的力矩为
代入数据可解得：
解析
步骤 1：计算左右两侧水压力
根据水静力学原理，作用在闸门上的总压力为左右两边液体总压力之差。左侧水深${H}_{1}=4.5m$，右侧水深${H}_{2}=2.5m$，闸门与水面成${45}^{\circ }$倾斜角，闸门宽度为1m。
步骤 2：计算左侧水压力
左侧水压力${F}_{1}=\rho g{H}_{1}{A}_{1}$，其中${A}_{1}=b{l}_{1}=b\dfrac {{H}_{1}}{\sin \theta }$，$\theta =45^{\circ }$，$\sin 45^{\circ }=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，所以${A}_{1}=1\times \dfrac {4.5}{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}=6.364m^{2}$，${F}_{1}=1000\times 9.8\times 4.5\times 6.364=282276N$。
步骤 3：计算右侧水压力
右侧水压力${F}_{2}=\rho g{H}_{2}{A}_{2}$，其中${A}_{2}=b{l}_{2}=b\dfrac {{H}_{2}}{\sin \theta }$，$\theta =45^{\circ }$，$\sin 45^{\circ }=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，所以${A}_{2}=1\times \dfrac {2.5}{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}=3.536m^{2}$，${F}_{2}=1000\times 9.8\times 2.5\times 3.536=86680N$。
步骤 4：计算总压力
总压力${F}={F}_{1}-{F}_{2}=282276-86680=195596N$。
步骤 5：计算压力中心位置
根据合力矩定理，通过。点垂直于图面的轴的力矩为${F}_{0}={F}_{1}\dfrac {{H}_{1}}{3}-{F}_{2}\dfrac {{H}_{2}}{3}={F}_{1}\dfrac {1}{3}\dfrac {{H}_{1}}{\sin \theta }-{F}_{2}\dfrac {1}{3}\dfrac {{H}_{2}}{\sin \theta }$，代入数据可解得：0=2.542m。
根据水静力学原理，作用在闸门上的总压力为左右两边液体总压力之差。左侧水深${H}_{1}=4.5m$，右侧水深${H}_{2}=2.5m$，闸门与水面成${45}^{\circ }$倾斜角，闸门宽度为1m。
步骤 2：计算左侧水压力
左侧水压力${F}_{1}=\rho g{H}_{1}{A}_{1}$，其中${A}_{1}=b{l}_{1}=b\dfrac {{H}_{1}}{\sin \theta }$，$\theta =45^{\circ }$，$\sin 45^{\circ }=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，所以${A}_{1}=1\times \dfrac {4.5}{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}=6.364m^{2}$，${F}_{1}=1000\times 9.8\times 4.5\times 6.364=282276N$。
步骤 3：计算右侧水压力
右侧水压力${F}_{2}=\rho g{H}_{2}{A}_{2}$，其中${A}_{2}=b{l}_{2}=b\dfrac {{H}_{2}}{\sin \theta }$，$\theta =45^{\circ }$，$\sin 45^{\circ }=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，所以${A}_{2}=1\times \dfrac {2.5}{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}=3.536m^{2}$，${F}_{2}=1000\times 9.8\times 2.5\times 3.536=86680N$。
步骤 4：计算总压力
总压力${F}={F}_{1}-{F}_{2}=282276-86680=195596N$。
步骤 5：计算压力中心位置
根据合力矩定理，通过。点垂直于图面的轴的力矩为${F}_{0}={F}_{1}\dfrac {{H}_{1}}{3}-{F}_{2}\dfrac {{H}_{2}}{3}={F}_{1}\dfrac {1}{3}\dfrac {{H}_{1}}{\sin \theta }-{F}_{2}\dfrac {1}{3}\dfrac {{H}_{2}}{\sin \theta }$，代入数据可解得：0=2.542m。