题目
曲线 y = x^2，x = 1，y = 0 所围成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积 V = ( )A. int_(0)^1 pi x^4 dxB. int_(0)^1 pi y dyC. int_(0)^1 pi (1-y)dyD. int_(0)^1 pi (1-x^4)dx
曲线 $y = x^2$，$x = 1$，$y = 0$ 所围成的图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积 $V = (\quad)$
A. $\int_{0}^{1} \pi x^4 dx$
B. $\int_{0}^{1} \pi y dy$
C. $\int_{0}^{1} \pi (1-y)dy$
D. $\int_{0}^{1} \pi (1-x^4)dx$
题目解答
答案
C. $\int_{0}^{1} \pi (1-y)dy$
解析
步骤 1：确定旋转体的生成方式
曲线 $y = x^2$，$x = 1$，$y = 0$ 所围成的图形绕 $y$ 轴旋转，可以使用圆盘法来计算旋转体的体积。
步骤 2：确定圆盘法的参数
- 外半径为 1，因为 $x = 1$ 是旋转体的边界。
- 内半径为 $x = \sqrt{y}$，因为 $y = x^2$，所以 $x = \sqrt{y}$。
步骤 3：计算横截面面积
横截面面积 $A(y)$ 为外半径的平方减去内半径的平方，即 $A(y) = \pi (1^2 - (\sqrt{y})^2) = \pi (1 - y)$。
步骤 4：积分求体积
旋转体的体积 $V$ 为横截面面积 $A(y)$ 在 $y$ 轴上的积分，即 $V = \int_{0}^{1} \pi (1 - y) \, dy$。
曲线 $y = x^2$，$x = 1$，$y = 0$ 所围成的图形绕 $y$ 轴旋转，可以使用圆盘法来计算旋转体的体积。
步骤 2：确定圆盘法的参数
- 外半径为 1，因为 $x = 1$ 是旋转体的边界。
- 内半径为 $x = \sqrt{y}$，因为 $y = x^2$，所以 $x = \sqrt{y}$。
步骤 3：计算横截面面积
横截面面积 $A(y)$ 为外半径的平方减去内半径的平方，即 $A(y) = \pi (1^2 - (\sqrt{y})^2) = \pi (1 - y)$。
步骤 4：积分求体积
旋转体的体积 $V$ 为横截面面积 $A(y)$ 在 $y$ 轴上的积分，即 $V = \int_{0}^{1} \pi (1 - y) \, dy$。