一根为长L，质量为m的均匀细棒在地面上竖立着。如果让竖立着的棒，以下端与地面接触处为轴倒下，则棒中点到达地面时速率应为【 】A. (sqrt(3gL))/(2)B. sqrt(3gL)C. sqrt(6gL)D. sqrt((3gL)/(2))

根据题意，一根长为 $L$、质量为 $m$ 的均匀细棒从竖直位置绕下端点倒下。在这个过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒。

1. 确定初始状态和末状态的机械能

• 初始状态： 棒竖直静止立在地面上。

  • 动能 $E_{k1} = 0$。
  • 棒是均匀的，其质心位于棒的中点，即距离地面 $\frac{L}{2}$ 的高度。
  • 重力势能（以地面为零势能面） $E_{p1} = mg\frac{L}{2}$。
  • 初始总机械能 $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = mg\frac{L}{2}$。

• 末状态： 棒刚到达地面（水平位置）。

  • 棒绕下端点转动，具有角速度 $\omega$。
  • 棒的转动动能 $E_{k2} = \frac{1}{2}I\omega^2$。
  • 棒平躺在地面上，质心高度为 $0$，重力势能 $E_{p2} = 0$。
  • 末状态总机械能 $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{1}{2}I\omega^2$。

2. 计算转动惯量并应用机械能守恒定律

• 均匀细棒绕其一端点的转动惯量公式为：$I = \frac{1}{3}mL^2$。
• 根据机械能守恒定律 $E_1 = E_2$，可得：
  $mg\frac{L}{2} = \frac{1}{2}I\omega^2$
• 将 $I = \frac{1}{3}mL^2$ 代入上式：
  $mg\frac{L}{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}mL^2\right) \omega^2$
• 化简方程：
  $mg\frac{L}{2} = \frac{1}{6}mL^2\omega^2$
  消去两边的 $m$ 和一个 $L$：
  $\frac{g}{2} = \frac{1}{6}L\omega^2$
  $\omega^2 = \frac{3g}{L}$
  $\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$

3. 计算棒中点到达地面时的速率

• 棒上任意一点的线速度 $v$ 与其到转轴的距离 $r$ 和角速度 $\omega$ 的关系为 $v = \omega r$。
• 题目要求的是棒中点到达地面时的速率。棒中点到转轴（下端点）的距离为 $r = \frac{L}{2}$。
• 因此，中点的速率 $v_{mid}$ 为：
  $v_{mid} = \omega \cdot \frac{L}{2}$
• 代入求得的 $\omega$：
  $v_{mid} = \sqrt{\frac{3g}{L}} \cdot \frac{L}{2} = \sqrt{\frac{3g}{L}} \cdot \sqrt{\frac{L^2}{4}} = \sqrt{\frac{3gL}{4}} = \frac{\sqrt{3gL}}{2}$

对比选项，该结果与选项 A 一致。

正确答案是 A。