若一个电子的动能等于它的静能,试求该电子的速率和德布罗意波长。

考查要点：本题主要考查相对论中的能量关系和德布罗意波长的计算，涉及相对论动能公式、洛伦兹因子以及动量的相对论表达式。

解题核心思路：

1. 动能与静能关系：题目中动能等于静能，需利用相对论动能公式 $E_k = (\gamma - 1)m_0 c^2$，结合 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ 求解速率。
2. 德布罗意波长公式：$\lambda = \frac{h}{p}$，其中动量 $p$ 需用相对论表达式 $p = \gamma m_0 v$ 计算。

破题关键点：

• 正确建立动能方程：通过 $E_k = m_0 c^2$ 得到 $\gamma = 2$。
• 准确代入公式：速率计算需注意平方和开根号的操作；波长计算需注意单位换算。

步骤1：求速率

1. 相对论动能公式：
   根据题意，动能 $E_k = m_0 c^2$，代入相对论动能公式：
   $(\gamma - 1)m_0 c^2 = m_0 c^2 \implies \gamma - 1 = 1 \implies \gamma = 2.$

2. 求速率 $v$：
   洛伦兹因子 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$，代入 $\gamma = 2$：
   $\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 2 \implies \sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{1}{2} \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} \implies v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0.866c.$

步骤2：求德布罗意波长

1. 动量表达式：
   相对论动量公式为 $p = \gamma m_0 v$，代入 $\gamma = 2$：
   $p = 2m_0 v.$

2. 德布罗意波长公式：
   $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{2m_0 v}.$

3. 代入数据计算：
   已知 $h = 6.63 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$，$m_0 = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}$，$v = \frac{\sqrt{3}}{2}c = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$，代入得：
   $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 \times 10^8} \approx 1.4 \times 10^{-12} \, \text{m} = 1.4 \times 10^{-3} \, \text{nm}.$