题目
求函数 =(x)^2+(y)^2 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点 (2,2+sqrt (3)) 的方向的方向导数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方向向量
从点(1,2)到点 $(2,2+\sqrt {3})$ 的方向向量为 $I=(2-1,2+\sqrt {3}-2)=(1,\sqrt {3})$。
步骤 2：计算单位方向向量
单位方向向量 ${e}_{i}=(\dfrac {1}{\sqrt {1^2+(\sqrt {3})^2}},\dfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {1^2+(\sqrt {3})^2}})=(\dfrac {1}{2},\dfrac {\sqrt {3}}{2})$。
步骤 3：计算偏导数
函数 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的偏导数为 $\dfrac {\partial z}{\partial x}=2x$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}=2y$。
步骤 4：计算偏导数在点(1,2)处的值
$\dfrac {\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=2\cdot1=2$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}{|}_{(1,2)}=2\cdot2=4$。
步骤 5：计算方向导数
方向导数为 $\dfrac {\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}\cdot\dfrac {1}{2}+\dfrac {\partial z}{\partial y}{|}_{(1,2)}\cdot\dfrac {\sqrt {3}}{2}=2\cdot\dfrac {1}{2}+4\cdot\dfrac {\sqrt {3}}{2}=1+2\sqrt {3}$。
从点(1,2)到点 $(2,2+\sqrt {3})$ 的方向向量为 $I=(2-1,2+\sqrt {3}-2)=(1,\sqrt {3})$。
步骤 2：计算单位方向向量
单位方向向量 ${e}_{i}=(\dfrac {1}{\sqrt {1^2+(\sqrt {3})^2}},\dfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {1^2+(\sqrt {3})^2}})=(\dfrac {1}{2},\dfrac {\sqrt {3}}{2})$。
步骤 3：计算偏导数
函数 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的偏导数为 $\dfrac {\partial z}{\partial x}=2x$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}=2y$。
步骤 4：计算偏导数在点(1,2)处的值
$\dfrac {\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=2\cdot1=2$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}{|}_{(1,2)}=2\cdot2=4$。
步骤 5：计算方向导数
方向导数为 $\dfrac {\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}\cdot\dfrac {1}{2}+\dfrac {\partial z}{\partial y}{|}_{(1,2)}\cdot\dfrac {\sqrt {3}}{2}=2\cdot\dfrac {1}{2}+4\cdot\dfrac {\sqrt {3}}{2}=1+2\sqrt {3}$。