题目

8.26 0.32kg的氧气作如图所示的循环,若 _(2)=2(V)_(1), _(1)=300K, _(2)=200K. 求此循-|||-环的效率.-|||-p-|||-a Ti=300K b-|||-d-|||-72=200 k-|||-c-|||-0 V1 V2 v-|||-习题8.26图

题目解答

答案

解析

本题考查理想气体循环过程的效率计算，需结合热力学第一定律和理想气体状态方程进行分析。解题关键在于：

  1. 确定循环路径：由两个等温过程（吸热、放热）和两个等容过程（仅交换热量）组成。
  2. 计算净功：等温过程的功可通过公式 $W = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$ 计算，等容过程无功。
  3. 计算输入热量：等温膨胀过程吸热，等容加热过程吸热，其余过程放热需扣除。

循环过程分析

  1. a→b（等温膨胀，T₁=300K）：体积从 $V_1$ 膨胀到 $V_2=2V_1$，吸热 $Q_1 = nRT_1 \ln \frac{V_2}{V_1}$，做功 $W_1 = nRT_1 \ln \frac{V_2}{V_1}$。
  2. b→c（等容冷却，V=V₂）：温度从 $T_1$ 降到 $T_2=200K$，放热 $Q_2 = nC_v(T_2 - T_1)$。
  3. c→d（等温压缩，T₂=200K）：体积从 $V_2$ 压缩到 $V_1$，放热 $Q_3 = nRT_2 \ln \frac{V_1}{V_2}$，做功 $W_3 = nRT_2 \ln \frac{V_1}{V_2}$。
  4. d→a（等容加热，V=V₁）：温度从 $T_2$ 升到 $T_1$，吸热 $Q_4 = nC_v(T_1 - T_2)$。

净功与效率计算

  1. 净功：
    $W_{\text{net}} = W_1 + W_3 = nR \left( T_1 \ln \frac{V_2}{V_1} + T_2 \ln \frac{V_1}{V_2} \right) = nR (T_1 - T_2) \ln \frac{V_2}{V_1}.$
  2. 输入热量：
    $Q_{\text{in}} = Q_1 + Q_4 = nR T_1 \ln \frac{V_2}{V_1} + nC_v (T_1 - T_2).$
  3. 效率：
    $\eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}} = \frac{(T_1 - T_2) \ln \frac{V_2}{V_1}}{T_1 \ln \frac{V_2}{V_1} + \frac{C_v}{R}(T_1 - T_2)}.$

代入数据

  • 氧气摩尔数 $n = \frac{0.32 \times 10^3 \text{g}}{32 \text{g/mol}} = 100 \text{mol}$，
  • $C_v = \frac{5}{2}R$（双原子气体），
  • $V_2 = 2V_1$，$\ln 2 \approx 0.693$，
  • 代入公式得 $\eta \approx 15\%$。