现有一透射光栅，光栅常量 d = 4 , mu(m) ，缝宽 a = 1 , mu(m) 。现有用一束波长 lambda = 500 , (nm) 的单色光以 theta = 30^circ 的角度斜入射。光栅后有一焦距 f = 20 , (cm) 的凸透镜，在其焦平面上有一足够大的屏幕，试回答以下问题：(1) 屏上中央亮条纹附近的主极大亮条纹的间距是多少？(2) 屏上主极大亮条纹的最高级次是多少？(3) 屏上共能看到几条谱线？

本题主要考察光栅衍射的相关知识，解题的关键在于理解光栅方程以及缺级现象的原理，并运用这些知识来求解主极大亮条纹的间距、最高级次和可见谱线的条数。

(1) 求屏上中央亮条纹附近的主极大亮条纹的间距

• 确定中央亮条纹位置：
  对于斜入射的情况，根据光栅方程 $d(\sin\theta + \sin\phi)=m\lambda$，中央亮条纹满足 $m = 0$，已知入射光角度 $\theta = 30^{\circ}$，则可得 $0 = d(\sin30^{\circ}+\sin\phi_0)$，即 $\sin\phi_0=-\sin30^{\circ}=-0.5$，所以中央亮条纹位于 $\phi_0 = - 30^{\circ}$。
• 计算 $m = \pm1$ 时的衍射角 $\phi$：
  当 $m = 1$ 时，代入光栅方程 $d(\sin\theta+\sin\phi)=m\lambda$，已知 $d = 4\,\mu\text{m}=4\times10^{-6}\text{m}$，$\lambda = 500\,\text{nm}=5\times10^{-7}\text{m}$，$\theta = 30^{\circ}$，则有：
  $4\times10^{-6}(\sin30^{\circ}+\sin\phi)=1\times5\times10^{-7}$
  $\sin30^{\circ}+\sin\phi=\frac{5\times10^{-7}}{4\times10^{-6}} = 0.125$
  $\sin\phi=0.125 - 0.5=-0.375$
  解得 $\phi=-22.02^{\circ}$。
  当 $m=-1$ 时，代入光栅方程 $d(\sin\theta+\sin\phi)=m\lambda$，则有：
  $4\times10^{-6}(\sin30^{\circ}+\sin\phi)=-1\times5\times10^{-7}$
  $\sin30^{\circ}+\sin\phi=\frac{-5\times10^{-7}}{4\times10^{-6}}=-0.125$
  $\sin\phi=-0.125 - 0.5=-0.625$
  解得 $\phi=-38.68^{\circ}$。
• 计算主极大亮条纹的间距 $\Delta y$：
  根据几何关系，屏上条纹间距 $\Delta y = f|\sin\phi-\sin\phi_0|$，已知 $f = 20\,\text{cm}=0.2\,\text{m}$，取 $m = 1$ 和 $m=-1$ 中与中央亮条纹差值较大的情况计算，$\Delta y = f|\sin(-38.68^{\circ})-\sin(-30^{\circ})|$
  $\sin(-38.68^{\circ})\approx - 0.625$，$\sin(-30^{\circ})=-0.5$
  $\Delta y=0.2\times| - 0.625+0.5|=0.2\times0.125 = 2.5\,\text{cm}$。

(2) 求屏上主极大亮条纹的最高级次

• 正向最高级次：
  当衍射角 $\phi = 90^{\circ}$ 时，代入光栅方程 $d(\sin\theta+\sin\phi)=m\lambda$，可得 $m=\frac{d(\sin\theta+\sin\phi)}{\lambda}$，将 $d = 4\times10^{-6}\text{m}$，$\theta = 30^{\circ}$，$\phi = 90^{\circ}$，$\lambda = 5\times10^{-7}\text{m}$ 代入：
  $m=\frac{4\times10^{-6}(\sin30^{\circ}+\sin90^{\circ})}{5\times10^{-7}}=\frac{4\times10^{-6}(0.5 + 1)}{5\times10^{-7}}=\frac{4\times1.5\times10^{-6}}{5\times10^{-7}}=12$
• 负向最高级次：
  当衍射角 $\phi=-90^{\circ}$ 时，代入光栅方程 $d(\sin\theta+\sin\phi)=m\lambda$，可得 $m=\frac{d(\sin\theta+\sin\phi)}{\lambda}$，将 $d = 4\times10^{-6}\text{m}$，$\theta = 30^{\circ}$，$\phi=-90^{\circ}$，$\lambda = 5\times10^{-7}\text{m}$ 代入：
  $m=\frac{4\times10^{-6}(\sin30^{\circ}+\sin(-90^{\circ}))}{5\times10^{-7}}=\frac{4\times10^{-6}(0.5 - 1)}{5\times10^{-7}}=\frac{4\times(-0.5)\times10^{-6}}{5\times10^{-7}}=-4$

(3) 求屏上共能看到几条谱线

• 确定缺级条件：
  当单缝衍射的暗纹位置与光栅衍射的主极大位置重合时会出现缺级现象。单缝衍射暗纹条件为 $a\sin\phi = k\lambda$，光栅衍射主极大条件为 $d\sin\phi=m\lambda$，两式相除可得 $\frac{d}{a}=\frac{m}{k}$，已知 $d = 4\,\mu\text{m}$，$a = 1\,\mu\text{m}$，则 $\frac{d}{a}=4$，即 $m = 4k$（$k=\pm1,\pm2,\pm3,\cdots$）时会出现缺级。
  所以 $m=\pm4,\pm8,\pm12$ 缺级。
• 统计可见级次：
  正向级次 $m = 0,1,2,3,5,6,7,9,10,11$，负向级次 $m=-1,-2,-3$，总共 $13$ 条谱线。