13-13 折射率为1.25的油滴落在折射率为1.57的玻璃板上化开成很薄的油膜。一个连续可调波长大-|||-小的单色光源垂直照射在油膜上,观察发现500 nm与700 nm的单色光在反射中消失,求油膜的厚度。

本题考查薄膜干涉中反射光相消干涉的条件，关键是分析薄膜上下表面反射光的光程差及半波损失情况。

步骤1：判断半波损失

• 上表面反射：油膜折射率$n_1=1.25$，空气折射率$n_0=1.00$，$n_1>n_0$，反射光有半波损失（相当于光程差增加$\lambda/2$）。
• 下表面反射：油膜折射率$n_1=1.25$，玻璃板折射率$n_2=1.57$，$n_2>n_1$，反射光也有半波损失（同样增加$\lambda/2$）。

总光程差修正：两半波损失抵消，反射光总光程差仅由几何路程差决定，即$2n_1d$（$d$为油膜厚度）。

步骤2：相消干涉条件

反射光相消时，光程差需满足：
$2n_1d = (k+\frac{1}{2})\lambda\quad (k=0,1,2,\dots)$
整理得油膜厚度：
$d = \frac{(k+\frac{1}{2})\lambda}{2n_1}$

步骤3：联立两波长求厚度

对$\lambda_1=500\,\text{nm}$和$\lambda_2=700\\,\text{nm}$，存在整数$k_1,k_2$使得：
$d = \frac{(k_1+\frac{1/2})\times500}{2\times1.25} = \frac{(k_2+\{1/2})\times700}{2\times1.25}$
化简得：
$500(k_1+\frac{1}{2}) = 700(k_2+\frac{1}{2})$
$5(2k_1+1)=7(2k_2+1)$
左边为5的倍数，右边为7的倍数，故$2k_1+1=7m$，$2k_2+1)=5m$（$m$为整数）。

取$m=1$：$2k_1+1=7\Rightarrow k_1=3$；$2k_2+1=5\Rightarrow k_2=2$，代入得：
$d=\frac{(3+\frac{1}{2})\times500}{2\times1.25}=\frac{3.5\times500}{2.5}=700\,\text{nm}$

步骤4：验证合理性

$m=2$时厚度为$1400\,\text{nm}$，不符合“很薄的油膜”，故唯一合理厚度为$700\,\text{nm}$。