题目
2.(习题9.2第5题续)设x1,x2,···,xn是取自总体X的一个样本,X的密度函数为-|||-f(x)= ^2)cdot 0lt xlt 0 0 .-|||-其中θ未知 theta gt 0 求θ的矩估计量与最大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体X的期望值
根据给定的密度函数，计算总体X的期望值 $EX$。期望值的计算公式为 $EX = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$。对于给定的密度函数，$f(x) = \dfrac{2x}{\theta^2}$，当 $0 < x < \theta$，其他情况为0。因此，$EX = \int_{0}^{\theta} x \cdot \dfrac{2x}{\theta^2} dx$。
步骤 2：计算矩估计量
根据矩估计法，总体的期望值 $EX$ 等于样本均值 $\overline{X}$。因此，$EX = \dfrac{2}{3}\theta$，令 $\dfrac{2}{3}\theta = \overline{X}$，解得 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta} = \dfrac{3}{2}\overline{X}$。
步骤 3：验证矩估计量是否为无偏估计
为了验证矩估计量是否为无偏估计，需要计算矩估计量的期望值 $E\hat{\theta}$。根据矩估计量 $\hat{\theta} = \dfrac{3}{2}\overline{X}$，$E\hat{\theta} = E(\dfrac{3}{2}\overline{X}) = \dfrac{3}{2}E(\overline{X}) = \dfrac{3}{2}EX = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{3}\theta = \theta$。因此，矩估计量是无偏估计。
步骤 4：计算最大似然估计量
最大似然估计量的计算需要构造似然函数 $L(\theta)$。似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i)$。对于给定的密度函数，$f(x) = \dfrac{2x}{\theta^2}$，当 $0 < x < \theta$，其他情况为0。因此，$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \dfrac{2x_i}{\theta^2}$，当 $0 < x_i < \theta$，其他情况为0。为了使似然函数最大，需要 $\theta$ 大于等于所有样本值的最大值，即 $\theta \geqslant max\{X_i\}$。因此，最大似然估计量为 $\hat{\theta} = max\{X_i\}$。
根据给定的密度函数，计算总体X的期望值 $EX$。期望值的计算公式为 $EX = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$。对于给定的密度函数，$f(x) = \dfrac{2x}{\theta^2}$，当 $0 < x < \theta$，其他情况为0。因此，$EX = \int_{0}^{\theta} x \cdot \dfrac{2x}{\theta^2} dx$。
步骤 2：计算矩估计量
根据矩估计法，总体的期望值 $EX$ 等于样本均值 $\overline{X}$。因此，$EX = \dfrac{2}{3}\theta$，令 $\dfrac{2}{3}\theta = \overline{X}$，解得 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta} = \dfrac{3}{2}\overline{X}$。
步骤 3：验证矩估计量是否为无偏估计
为了验证矩估计量是否为无偏估计，需要计算矩估计量的期望值 $E\hat{\theta}$。根据矩估计量 $\hat{\theta} = \dfrac{3}{2}\overline{X}$，$E\hat{\theta} = E(\dfrac{3}{2}\overline{X}) = \dfrac{3}{2}E(\overline{X}) = \dfrac{3}{2}EX = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{3}\theta = \theta$。因此，矩估计量是无偏估计。
步骤 4：计算最大似然估计量
最大似然估计量的计算需要构造似然函数 $L(\theta)$。似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i)$。对于给定的密度函数，$f(x) = \dfrac{2x}{\theta^2}$，当 $0 < x < \theta$，其他情况为0。因此，$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \dfrac{2x_i}{\theta^2}$，当 $0 < x_i < \theta$，其他情况为0。为了使似然函数最大，需要 $\theta$ 大于等于所有样本值的最大值，即 $\theta \geqslant max\{X_i\}$。因此，最大似然估计量为 $\hat{\theta} = max\{X_i\}$。