题目
2.一段导线先弯成图(a)所示形状,然后将一样长的导线再弯成图(b)所示形状。在导线通以电流I后,求-|||-两个图形中P点的磁感应强度之比。-|||-1-|||-P_-|||-(a)-|||-P 1-|||-(b)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析图(a)中的电流分布
图(a)中的导线可以分解为5段电流。其中，处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，因此只需考虑其他三段电流在P点的磁感应强度。这两段电流的长度分别为l和2l，它们在P点的磁感应强度方向相同。
步骤 2：计算图(a)中P点的磁感应强度
长为l的两段电流在P点的磁感应强度为
$${B}_{1}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{4\pi l}$$
长为2l的一段电流在P点的磁感应强度为
$${B}_{2}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{4\pi l}$$
因此，图(a)中P点的磁感应强度为
$$B={B}_{1}+{B}_{2}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{2\pi l}$$
步骤 3：分析图(b)中的电流分布
图(b)中的导线可以分解为3段电流。其中，处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，因此只需考虑半圆弧在P点的磁感应强度。
步骤 4：计算图(b)中P点的磁感应强度
半圆弧在P点的磁感应强度为
$${B}_{2}=\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}$$
因此，图(b)中P点的磁感应强度为
$$B'={B}_{2}=\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}$$
步骤 5：计算两个图形中P点的磁感应强度之比
两个图形中P点的磁感应强度之比为
$$\dfrac {B}{B'}=\dfrac {\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{2\pi l}}{\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}}=\dfrac {8\sqrt {2}}{{\pi }^{2}}$$
图(a)中的导线可以分解为5段电流。其中，处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，因此只需考虑其他三段电流在P点的磁感应强度。这两段电流的长度分别为l和2l，它们在P点的磁感应强度方向相同。
步骤 2：计算图(a)中P点的磁感应强度
长为l的两段电流在P点的磁感应强度为
$${B}_{1}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{4\pi l}$$
长为2l的一段电流在P点的磁感应强度为
$${B}_{2}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{4\pi l}$$
因此，图(a)中P点的磁感应强度为
$$B={B}_{1}+{B}_{2}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{2\pi l}$$
步骤 3：分析图(b)中的电流分布
图(b)中的导线可以分解为3段电流。其中，处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，因此只需考虑半圆弧在P点的磁感应强度。
步骤 4：计算图(b)中P点的磁感应强度
半圆弧在P点的磁感应强度为
$${B}_{2}=\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}$$
因此，图(b)中P点的磁感应强度为
$$B'={B}_{2}=\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}$$
步骤 5：计算两个图形中P点的磁感应强度之比
两个图形中P点的磁感应强度之比为
$$\dfrac {B}{B'}=\dfrac {\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{2\pi l}}{\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}}=\dfrac {8\sqrt {2}}{{\pi }^{2}}$$