题目
在电荷体密度为ρ 的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O′的矢量用a 表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为 =dfrac (rho )(3{varepsilon )_(0)}a =dfrac (rho )(3{varepsilon )_(0)}a
在电荷体密度为ρ 的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O′的矢量用a 表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为
题目解答
答案
分析 本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为ρ 的均匀带电球和一个电荷体密度为－ρ、球心在O′的带电小球体(半径等于空腔球体的半径).大小球体在空腔内P 点产生的电场强度分别为E1 、E2 ，则P 点的电场强度 E＝E1 ＋E2 .
证 带电球体内部一点的电场强度为
所以 
，
根据几何关系
，上式可改写为
解析
步骤 1：电场强度的叠加原理
根据电场强度的叠加原理，空腔中任一点的电场强度等于完整带电球体在该点产生的电场强度与空腔部分在该点产生的电场强度的矢量和。
步骤 2：完整带电球体的电场强度
对于一个均匀带电的球体，其内部任一点的电场强度为
$E=\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}r$
其中，ρ 是电荷体密度，ε₀ 是真空介电常数，r 是该点到球心的距离。
步骤 3：空腔部分的电场强度
空腔部分可以视为一个电荷体密度为 -ρ 的小球体，其在空腔中任一点的电场强度为
$E_{2}=-\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}r_{2}$
其中，r₂ 是该点到空腔球心的距离。
步骤 4：空腔中任一点的电场强度
空腔中任一点的电场强度为
$E=E_{1}+E_{2}=\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}r_{1}-\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}r_{2}$
根据几何关系，r₁ - r₂ = a，因此
$E=\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}a$
根据电场强度的叠加原理，空腔中任一点的电场强度等于完整带电球体在该点产生的电场强度与空腔部分在该点产生的电场强度的矢量和。
步骤 2：完整带电球体的电场强度
对于一个均匀带电的球体，其内部任一点的电场强度为
$E=\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}r$
其中，ρ 是电荷体密度，ε₀ 是真空介电常数，r 是该点到球心的距离。
步骤 3：空腔部分的电场强度
空腔部分可以视为一个电荷体密度为 -ρ 的小球体，其在空腔中任一点的电场强度为
$E_{2}=-\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}r_{2}$
其中，r₂ 是该点到空腔球心的距离。
步骤 4：空腔中任一点的电场强度
空腔中任一点的电场强度为
$E=E_{1}+E_{2}=\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}r_{1}-\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}r_{2}$
根据几何关系，r₁ - r₂ = a，因此
$E=\dfrac {\rho }{3{\varepsilon }_{0}}a$