题目
某质点作简谐运动,周期为2s,振幅为0.06m,t=0时刻,质点恰好处在平衡位置且向正向位移运动,求:(1)该质点的振动方程.(2)此振动以波速2m/s沿x轴正方向传播时,形成的一维简谐波的波动表达式(以该质点的平衡位置为坐标原点).(3)该波的波长.
某质点作简谐运动,周期为2s,振幅为0.06m,t=0时刻,质点恰好处在平衡位置且向正向位移运动,求:
(1)
该质点的振动方程.
(2)
此振动以波速2m/s沿x轴正方向传播时,形成的一维简谐波的波动表达式(以该质点的平衡位置为坐标原点).
(3)
该波的波长.
题目解答
答案
- (1)
x=0.06sin(πt)或x=0.06sin(πt+π)
- (2)
x=0.06sin(πt+π)
- (3)
4m
解析
步骤 1:确定振动方程
根据题意,质点作简谐运动,周期为2s,振幅为0.06m,t=0时刻,质点恰好处在平衡位置且向正向位移运动。简谐运动的振动方程可以表示为:
\[ x = A \sin(\omega t + \phi) \]
其中,A是振幅,\(\omega\)是角频率,\(\phi\)是初相位。根据周期T=2s,可以计算角频率\(\omega\):
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \]
由于t=0时刻质点恰好处在平衡位置且向正向位移运动,所以初相位\(\phi=0\)。因此,振动方程为:
\[ x = 0.06 \sin(\pi t) \]
步骤 2:确定波动表达式
当此振动以波速2m/s沿x轴正方向传播时,形成的一维简谐波的波动表达式可以表示为:
\[ y = A \sin(\omega t - kx + \phi) \]
其中,A是振幅,\(\omega\)是角频率,k是波数,\(\phi\)是初相位。根据波速v=2m/s,可以计算波数k:
\[ k = \frac{\omega}{v} = \frac{\pi}{2} \]
因此,波动表达式为:
\[ y = 0.06 \sin(\pi t - \frac{\pi}{2}x) \]
步骤 3:确定波长
波长\(\lambda\)与波数k的关系为:
\[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4 \]
根据题意,质点作简谐运动,周期为2s,振幅为0.06m,t=0时刻,质点恰好处在平衡位置且向正向位移运动。简谐运动的振动方程可以表示为:
\[ x = A \sin(\omega t + \phi) \]
其中,A是振幅,\(\omega\)是角频率,\(\phi\)是初相位。根据周期T=2s,可以计算角频率\(\omega\):
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \]
由于t=0时刻质点恰好处在平衡位置且向正向位移运动,所以初相位\(\phi=0\)。因此,振动方程为:
\[ x = 0.06 \sin(\pi t) \]
步骤 2:确定波动表达式
当此振动以波速2m/s沿x轴正方向传播时,形成的一维简谐波的波动表达式可以表示为:
\[ y = A \sin(\omega t - kx + \phi) \]
其中,A是振幅,\(\omega\)是角频率,k是波数,\(\phi\)是初相位。根据波速v=2m/s,可以计算波数k:
\[ k = \frac{\omega}{v} = \frac{\pi}{2} \]
因此,波动表达式为:
\[ y = 0.06 \sin(\pi t - \frac{\pi}{2}x) \]
步骤 3:确定波长
波长\(\lambda\)与波数k的关系为:
\[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4 \]