题目
一个质点在力 F 的作用下从点 A(a,0) 沿椭圆 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 按逆时针方向移动到点 B(0,b), F 的大小与质点到原点的距离成正比 (其中 k > 0 是比例常数), 方向恒指向原点. 力 F 所作的功 W 为 ()A. (k)/(2)(2a^2 - b^2)B. (k)/(2)(a^2 - b^2)C. (k)/(2)(a^2 - 2b^2)D. (k)/(2)(a^2 + b^2)
一个质点在力 $F$ 的作用下从点 $A(a,0)$ 沿椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 按逆时针方向移动到点 $B(0,b)$, $F$ 的大小与质点到原点的距离成正比 (其中 $k > 0$ 是比例常数), 方向恒指向原点. 力 $F$ 所作的功 $W$ 为 ()
A. $\frac{k}{2}(2a^2 - b^2)$
B. $\frac{k}{2}(a^2 - b^2)$
C. $\frac{k}{2}(a^2 - 2b^2)$
D. $\frac{k}{2}(a^2 + b^2)$
题目解答
答案
B. $\frac{k}{2}(a^2 - b^2)$
解析
步骤 1：确定力 $\mathbf{F}$ 的表达式
力 $\mathbf{F}$ 的大小与质点到原点的距离成正比，方向恒指向原点。设质点的位置为 $(x, y)$，则力 $\mathbf{F}$ 的大小为 $k\sqrt{x^2 + y^2}$，方向为 $-\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\mathbf{i} - \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\mathbf{j}$。因此，力 $\mathbf{F}$ 的表达式为
\[ \mathbf{F} = -k(x \mathbf{i} + y \mathbf{j}) \]
步骤 2：确定椭圆的参数方程
椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的参数方程为 $x = a \cos \theta$，$y = b \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。因此，微分位移 $d\mathbf{r}$ 为
\[ d\mathbf{r} = (-a \sin \theta \, d\theta) \mathbf{i} + (b \cos \theta \, d\theta) \mathbf{j} \]
步骤 3：计算点积 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$
将力 $\mathbf{F}$ 和微分位移 $d\mathbf{r}$ 的表达式代入点积公式，得到
\[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = k(a^2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta - b^2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta) = k(a^2 - b^2) \sin \theta \cos \theta \, d\theta \]
步骤 4：积分求功 $W$
将点积 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 对 $\theta$ 积分，得到
\[ W = \int_0^{\frac{\pi}{2}} k(a^2 - b^2) \sin \theta \cos \theta \, d\theta = \frac{k(a^2 - b^2)}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta \, d\theta = \frac{k(a^2 - b^2)}{2} \]
力 $\mathbf{F}$ 的大小与质点到原点的距离成正比，方向恒指向原点。设质点的位置为 $(x, y)$，则力 $\mathbf{F}$ 的大小为 $k\sqrt{x^2 + y^2}$，方向为 $-\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\mathbf{i} - \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\mathbf{j}$。因此，力 $\mathbf{F}$ 的表达式为
\[ \mathbf{F} = -k(x \mathbf{i} + y \mathbf{j}) \]
步骤 2：确定椭圆的参数方程
椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的参数方程为 $x = a \cos \theta$，$y = b \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。因此，微分位移 $d\mathbf{r}$ 为
\[ d\mathbf{r} = (-a \sin \theta \, d\theta) \mathbf{i} + (b \cos \theta \, d\theta) \mathbf{j} \]
步骤 3：计算点积 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$
将力 $\mathbf{F}$ 和微分位移 $d\mathbf{r}$ 的表达式代入点积公式，得到
\[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = k(a^2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta - b^2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta) = k(a^2 - b^2) \sin \theta \cos \theta \, d\theta \]
步骤 4：积分求功 $W$
将点积 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 对 $\theta$ 积分，得到
\[ W = \int_0^{\frac{\pi}{2}} k(a^2 - b^2) \sin \theta \cos \theta \, d\theta = \frac{k(a^2 - b^2)}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta \, d\theta = \frac{k(a^2 - b^2)}{2} \]