(本题10分)一衍射光栅,每厘米200条透光缝,每条透光缝宽为a=2×10-3 cm,在光栅后放一焦距f=1 m的凸透镜,现以=600 nm (1 nm=10-9 m)的单色平行光垂直照射光栅,求:(1) 透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少?(2) 在该宽度内,有几个光栅衍射主极大?

考查要点：本题综合考查单缝衍射和光栅衍射的叠加效应，需分别计算单缝衍射的中央明纹宽度及光栅衍射主极大在该宽度内的数量。

解题核心思路：

1. 单缝衍射中央明纹宽度：利用单缝衍射第一个极小条件，结合几何关系计算宽度。
2. 光栅衍射主极大数量：结合光栅方程和单缝衍射允许的衍射角范围，确定满足条件的主极大级数。

破题关键点：

• 单位统一：注意缝宽$a$、光栅周期$d$的单位转换（厘米→米）。
• 条件叠加：光栅主极大需同时满足光栅方程和单缝衍射的允许角度范围。

第（1）题：单缝衍射中央明纹宽度

单缝衍射极小条件

单缝衍射第一个极小对应的条件为：
$a \sin\theta_0 = \lambda$
其中$a=2\times10^{-5}\ \text{m}$，$\lambda=600\ \text{nm}=600\times10^{-9}\ \text{m}$。

近似计算角度

当$\theta_0$较小时，$\sin\theta_0 \approx \tan\theta_0 \approx \theta_0$，由几何关系$x = f \tan\theta_0$，得：
$x = \frac{\lambda f}{a} = \frac{600\times10^{-9} \times 1}{2\times10^{-5}} = 0.03\ \text{m}$

中央明纹宽度

中央明纹宽度为两侧第一个极小之间的距离：
$\Delta x = 2x = 2 \times 0.03 = 0.06\ \text{m}$

第（2）题：光栅衍射主极大数量

光栅方程

光栅衍射主极大条件为：
$(a+b) \sin\theta = k'\lambda$
其中光栅周期$d = a + b = \frac{1\ \text{cm}}{200} = 5\times10^{-5}\ \text{m}$。

角度范围限制

单缝衍射要求$|\sin\theta| \leq \sin\theta_0 = 0.03$，代入光栅方程：
$k' = \frac{d \sin\theta}{\lambda} \leq \frac{d \cdot 0.03}{\lambda} = \frac{5\times10^{-5} \cdot 0.03}{600\times10^{-9}} = 2.5$

可能的整数解

$k'$可取$0, \pm1, \pm2$，共5个主极大。