题目

(单选题，4分)设A,B为n阶可逆阵，且A=B^T，则A^T(B^1A^1+E)^T可简化为（）A A^-1+BB A^-1+AC A+BD A+B^-1

(单选题，4分)设A,B为n阶可逆阵，且A=B^T，则$A^{T}(B^{1}A^{1}+E)^{T}$可简化为（） A $A^{-1}+B$ B $A^{-1}+A$ C $A+B$ D $A+B^{-1}$

题目解答

题目分析

已知 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆阵，且 $A = B^{\mathrm{T}}$。需要化简的表达式为：
$A^{\mathrm{T}} (B^{-1} A^{-1} + E)^{\mathrm{T}}$

已知条件梳理

由 $A = B^{\mathrm{T}}$，对其两边同时取转置，可得：
$A^{\mathrm{T}} = (B^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} = B$
同时，由 $A = B^{\mathrm{T}}$ 可知 $B = A^{\mathrm{T}}$。

表达式化简

首先，我们处理括号内的转置部分 $(B^{-1} A^{-1} + E)^{\mathrm{T}}$。

根据矩阵转置的性质：

所以：
$(B^{-1} A^{-1} + E)^{\mathrm{T}} = (B^{-1} A^{-1})^{\mathrm{T}} + E^{\mathrm{T}} = (A^{-1})^{\mathrm{T}} (B^{-1})^{\mathrm{T}} + E$

接下来，我们分别看 $(A^{-1})^{\mathrm{T}}$ 和 $(B^{-1})^{\mathrm{T}}$ 是什么：

已知 $A = B^{\mathrm{T}}$，那么 $B = A^{\mathrm{T}}$。
对于 $(B^{-1})^{\mathrm{T}}$：因为 $B = A^{\mathrm{T}}$，所以 $B^{-1} = (A^{\mathrm{T}})^{-1}$。那么 $(B^{-1})^{\mathrm{T}} = ((A^{\mathrm{T}})^{-1})^{\mathrm{T}}$。根据性质 $(M^{-1})^{\mathrm{T}} = (M^{\mathrm{T}})^{-1}$，这里 $M = A^{\mathrm{T}}$，所以 $(A^{\mathrm{T}})^{-\mathrm{T}} = ( (A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}} )^{-1} = A^{-1}$。即 $(B^{-1})^{\mathrm{T}} = A^{-1}$。
对于 $(A^{-1})^{\mathrm{T}}$：因为 $A^{\mathrm{T}} = B$，所以 $(A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1} = B^{-1}$。即 $(A^{-1})^{\mathrm{T}} = B^{-1}$。

将这些代入前面的式子：
$(B^{-1} A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{-1})^{\mathrm{T}} (B^{-1})^{\mathrm{T}} = B^{-1} A^{-1}$

所以：
$(B^{-1} A^{-1} + E)^{\mathrm{T}} = B^{-1} A^{-1} + E$

现在，原表达式变为：
$A^{\mathrm{T}} (B^{-1} A^{-1} + E)$

已知 $A^{\mathrm{T}} = B$，将其代入：
$B (B^{-1} A^{-1} + E) = B \cdot B^{-1} A^{-1} + B \cdot E = (B B^{-1}) A^{-1} + B = E A^{-1} + B = A^{-1} + B$

结论

经过化简，最终结果为 $A^{-1} + B$。

对比选项：

正确答案是 A。