题目
[题目]用绝缘细线弯成的半圆环,半径为r,其上均-|||-匀的带有正电荷Q,试求圆心O点的电场强度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷线密度
半圆环的电荷线密度 $\lambda$ 可以通过总电荷量 $Q$ 除以半圆环的长度来计算。半圆环的长度为 $\pi r$，因此电荷线密度 $\lambda = \frac{Q}{\pi r}$。
步骤 2：计算微小电荷元在圆心处产生的电场
取半圆环上一小段长度为 $d\theta$ 的微小电荷元，其所带电荷量为 $dQ = \lambda r d\theta = \frac{Q}{\pi} d\theta$。根据点电荷产生的电场公式，该微小电荷元在圆心处产生的电场强度为 $dE = k \frac{dQ}{r^2} = k \frac{Q}{\pi r^2} d\theta$，其中 $k$ 是库仑常数。
步骤 3：计算圆心处的总电场强度
由于电场强度是矢量，需要考虑方向。在圆心处，电场强度的水平分量相互抵消，只有垂直分量叠加。因此，总电场强度 $E$ 为所有微小电荷元在圆心处产生的电场强度的垂直分量之和。由于对称性，垂直分量为 $dE \sin \theta$。将 $dE$ 从 $0$ 到 $\pi$ 积分，得到总电场强度 $E = \int_0^\pi k \frac{Q}{\pi r^2} \sin \theta d\theta = \frac{2kQ}{\pi r^2}$。
半圆环的电荷线密度 $\lambda$ 可以通过总电荷量 $Q$ 除以半圆环的长度来计算。半圆环的长度为 $\pi r$，因此电荷线密度 $\lambda = \frac{Q}{\pi r}$。
步骤 2：计算微小电荷元在圆心处产生的电场
取半圆环上一小段长度为 $d\theta$ 的微小电荷元，其所带电荷量为 $dQ = \lambda r d\theta = \frac{Q}{\pi} d\theta$。根据点电荷产生的电场公式，该微小电荷元在圆心处产生的电场强度为 $dE = k \frac{dQ}{r^2} = k \frac{Q}{\pi r^2} d\theta$，其中 $k$ 是库仑常数。
步骤 3：计算圆心处的总电场强度
由于电场强度是矢量，需要考虑方向。在圆心处，电场强度的水平分量相互抵消，只有垂直分量叠加。因此，总电场强度 $E$ 为所有微小电荷元在圆心处产生的电场强度的垂直分量之和。由于对称性，垂直分量为 $dE \sin \theta$。将 $dE$ 从 $0$ 到 $\pi$ 积分，得到总电场强度 $E = \int_0^\pi k \frac{Q}{\pi r^2} \sin \theta d\theta = \frac{2kQ}{\pi r^2}$。