[题目]如图所示,质量为-|||-_(1)=0.790kg 和-|||-_(2)=0.800kg 的物体以劲度系数为-|||-10N/m 的轻弹簧相连,置于光滑水平桌面-|||-上,最初弹簧自由伸张,质量为0.01 k g的子-|||-弹以速率 _(0)=100m/s 沿水平负方向射-|||-于m1内,问弹簧最多压缩了多少?-|||-v0-|||-m

考查要点：本题综合考查动量守恒定律和机械能守恒定律的应用，涉及完全非弹性碰撞、弹簧压缩最值问题。

解题核心思路：

1. 动量守恒：分两个阶段分析：
   • 子弹射入物体$m_1$：系统为子弹与$m_1$，动量守恒求共同速度$v_1$。
   • 弹簧压缩到最大：系统为子弹、$m_1$、$m_2$，动量守恒求最终共同速度$v_2$。
2. 能量守恒：在子弹射入后到速度相同的过程中，系统动能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量。

破题关键点：

• 弹簧压缩最大条件：当子弹、$m_1$、$m_2$速度相同时，弹簧弹性势能最大。
• 能量关系：$\Delta E_k = E_p$，即初始动能与最终动能的差等于弹性势能。

第（1）步：子弹射入$m_1$后的共同速度$v_1$

动量守恒：
子弹与$m_1$碰撞过程中，动量守恒，方向向左为正：
$m v_0 = (m + m_1) v_1$
代入数据：
$0.01 \times 100 = (0.01 + 0.790) v_1 \implies v_1 = 1.25 \, \text{m/s}$

第（2）步：弹簧压缩最大时的共同速度$v_2$

动量守恒：
当弹簧压缩到最大时，三者速度相同，总动量守恒：
$(m + m_1) v_1 = (m + m_1 + m_2) v_2$
代入数据：
$0.8 \times 1.25 = (0.8 + 0.8) v_2 \implies v_2 = 0.625 \, \text{m/s}$

第（3）步：弹簧最大压缩量$x$

能量守恒：
初始动能为子弹与$m_1$的动能，最终动能为三者的动能，差值为弹性势能：
$\frac{1}{2}(m + m_1) v_1^2 - \frac{1}{2}(m + m_1 + m_2) v_2^2 = \frac{1}{2} k x^2$
代入数据：
$\frac{1}{2} \times 0.8 \times 1.25^2 - \frac{1}{2} \times 1.6 \times 0.625^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times x^2$
计算得：
$0.3125 = 5 x^2 \implies x = 0.25 \, \text{m}$