现有一透射光栅，光栅常量 d = 4 mu(m)，缝宽 a = 1 mu(m)。现有用一束波长 lambda = 500 (nm) 的单色光以 theta = 30^circ 的角度斜入射。光栅后有一焦距 f = 20 (cm) 的凸透镜，在其焦平面上有一足够大的屏幕，试回答以下问题：(1) 屏上中央亮条纹附近的主极大亮条纹的间距是多少？(2) 屏上主极大亮条纹的最高级次是多少？(3) 屏上共能看到几条谱线？

本题主要考查光栅衍射的相关知识，解题关键在于运用光栅方程以及缺级条件来分别求解主极大亮条纹的间距、最高级次和可见谱线的条数。

（1）求屏上中央亮条纹附近的主极大亮条纹的间距

• 对于斜入射的情况，光栅方程为 $d(\sin\theta + \sin\phi)=m\lambda$，其中 $d$ 是光栅常量，$\theta$ 是入射光与光栅法线的夹角，$\phi$ 是衍射角，$m$ 是级次，$\lambda$ 是光的波长。
• 当 $m$ 取相邻值 $m$ 和 $m + 1$ 时，对应的衍射角分别为 $\phi_m$ 和 $\phi_{m + 1}$，则有 $d(\sin\theta+\sin\phi_m)=m\lambda$ 和 $d(\sin\theta+\sin\phi_{m + 1})=(m + 1)\lambda$。
• 两式相减可得 $d(\sin\phi_{m + 1}-\sin\phi_m)=\lambda$。
• 在小角度近似下，$\sin\phi\approx\tan\phi=\frac{y}{f}$（$y$ 是屏上条纹到中央的距离，$f$ 是凸透镜焦距），那么 $\Delta y=f(\tan\phi_{m + 1}-\tan\phi_m)\approx f(\sin\phi_{m + 1}-\sin\phi_m)$。
• 由 $d(\sin\phi_{m + 1}-\sin\phi_m)=\lambda$ 可得 $\Delta y=\frac{f\lambda}{d}$。
• 已知 $f = 20\mathrm{cm}=20\times10^{-2}\mathrm{m}$，$\lambda = 500\mathrm{nm}=500\times10^{-9}\mathrm{m}$，$d = 4\mathrm{\mu m}=4\times10^{-6}\mathrm{m}$，代入可得：
  $\Delta y=\frac{20\times10^{-2}\times500\times10^{-9}}{4\times10^{-6}}=2.5\times10^{-2}\mathrm{m}=2.5\mathrm{cm}$

（2）求屏上主极大亮条纹的最高级次

• 由光栅方程 $d(\sin\theta+\sin\phi)=m\lambda$ 可知，$m=\frac{d(\sin\theta+\sin\phi)}{\lambda}$。
• 因为 $-1\leqslant\sin\phi\leqslant1$，当 $\sin\phi = 1$ 时，$m$ 取得最大值，$m_{max}=\frac{d(\sin\theta + 1)}{\lambda}$。
• 已知 $\theta = 30^{\circ}$，$\sin\theta=\frac{1}{2}$，$d = 4\times10^{-6}\mathrm{m}$，$\lambda = 500\times10^{-9}\mathrm{m}$，代入可得：
  $m_{max}=\frac{4\times10^{-6}\times(\frac{1}{2}+1)}{500\times10^{-9}}=\frac{4\times10^{-6}\times\frac{3}{2}}{500\times10^{-9}} = 12$
• 当 $\sin\phi=-1$ 时，$m$ 取得最小值，$m_{min}=\frac{d(\sin\theta - 1)}{\lambda}$，代入可得：
  $m_{min}=\frac{4\times10^{-6}\times(\frac{1}{2}-1)}{500\times10^{-9}}=\frac{4\times10^{-6}\times(-\frac{1}{2})}{500\times10^{-9}}=-4$

（3）求屏上共能看到几条谱线

• 光栅衍射的缺级条件为 $\frac{d}{a}=k$（$k=\pm1,\pm2,\cdots$）时，$m = \pm k\frac{d}{a}$ 级次的主极大会缺级。
• 已知 $\frac{d}{a}=\frac{4\mathrm{\mu m}}{1\mathrm{\mu m}} = 4$，则 $k = \pm1,\pm2,\pm3$ 时，$m=\pm4,\pm8,\pm12$ 级次缺级。
• 级次 $m$ 的取值范围是 $-4\leqslant m\leqslant12$，总共的级次有 $12-(-4)+1 = 17$ 个。
• 缺级的有 $6$ 个（$m=\pm4,\pm8,\pm12$），所以可见的谱线有 $17 - 6=13$ 条，级次分别为 $m=-3,-2,-1,0,1,2,3,5,6,7,9,10,11$。