题目
光滑的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，其转动惯量为1/3mL，起初杆静止，桌面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为（ ）。A. 2v/（3L）B. 4v/（5L）C. 6v/（7L）D. 8v/（9L）
光滑的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，其转动惯量为1/3mL，起初杆静止，桌面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为（ ）。
A. 2v/（3L）
B. 4v/（5L）
C. 6v/（7L）
D. 8v/（9L）
题目解答
答案
C. 6v/（7L）
解析
步骤 1：确定系统初始动量
在碰撞前，两个小球以相同速率v相向运动，因此它们的总动量为零。由于杆静止，整个系统的初始动量为零。
步骤 2：应用角动量守恒定律
在碰撞过程中，由于没有外力矩作用，系统的角动量守恒。碰撞后，两个小球与杆粘在一起，形成一个整体，以角速度ω绕轴O转动。根据角动量守恒定律，碰撞前的总角动量等于碰撞后的总角动量。
步骤 3：计算碰撞后的角速度
碰撞前，两个小球的角动量分别为mLv和-mLv，总角动量为零。碰撞后，系统的转动惯量为杆的转动惯量加上两个小球的转动惯量，即\(I_{total} = \frac{1}{3}mL^2 + 2mL^2 = \frac{7}{3}mL^2\)。根据角动量守恒定律，有\(0 = I_{total} \omega\)，即\(0 = \frac{7}{3}mL^2 \omega\)。由于碰撞前小球的总角动量为零，碰撞后系统的总角动量也为零，但考虑到小球与杆粘在一起后，它们的角动量之和等于杆的角动量，因此有\(2mLv = I_{total} \omega\)，即\(2mLv = \frac{7}{3}mL^2 \omega\)。解得\(\omega = \frac{6v}{7L}\)。
在碰撞前，两个小球以相同速率v相向运动，因此它们的总动量为零。由于杆静止，整个系统的初始动量为零。
步骤 2：应用角动量守恒定律
在碰撞过程中，由于没有外力矩作用，系统的角动量守恒。碰撞后，两个小球与杆粘在一起，形成一个整体，以角速度ω绕轴O转动。根据角动量守恒定律，碰撞前的总角动量等于碰撞后的总角动量。
步骤 3：计算碰撞后的角速度
碰撞前，两个小球的角动量分别为mLv和-mLv，总角动量为零。碰撞后，系统的转动惯量为杆的转动惯量加上两个小球的转动惯量，即\(I_{total} = \frac{1}{3}mL^2 + 2mL^2 = \frac{7}{3}mL^2\)。根据角动量守恒定律，有\(0 = I_{total} \omega\)，即\(0 = \frac{7}{3}mL^2 \omega\)。由于碰撞前小球的总角动量为零，碰撞后系统的总角动量也为零，但考虑到小球与杆粘在一起后，它们的角动量之和等于杆的角动量，因此有\(2mLv = I_{total} \omega\)，即\(2mLv = \frac{7}{3}mL^2 \omega\)。解得\(\omega = \frac{6v}{7L}\)。